Géométrie dans l’espace 3AC : exercices corrigés

1. $[BF]$, $[CG]$ et $[DH]$.
2. Les plans $(ABCD)$ et $(EFGH)$, des faces du bas et du haut.
3. Un rectangle : $[AE]$ est perpendiculaire à $[AC]$, et $AE=CG$.

À retenir : Une arête d’un cube est perpendiculaire aux deux faces qu’elle relie.

1. $12\times 7=84$ cm³.
2. $\pi \times 9\times 10=90\pi$ cm³.
3. $\frac{20\times 6}{3}=40$ cm³.

À retenir : La formule dépend de la famille du solide : droit, ou à sommet.

1. $3$ L $=3$ dm³ $=3000$ cm³.
2. $250$ L.
3. $45$ L.

À retenir : Entre deux unités de volume voisines, on multiplie ou on divise par $1000$.

1. $\frac{3\times 4}{2}=6$ cm².
2. $6\times 10=60$ cm³.
3. Aire latérale : $(3+4+5)\times 10=120$ cm² ; aire totale : $120+2\times 6=132$ cm².

À retenir : L’aire latérale d’un prisme droit est le périmètre de la base multiplié par la hauteur.

1. $\pi \times 3,3^2\times 12=130,68\pi$ cm³.
2. $130,68\pi \approx 410,5$ cm³.
3. $33$ cL $=330$ cm³, et $330<410,5$ : oui.

À retenir : Pour comparer, on exprime volume et capacité dans la même unité.

1. $8\times 6=48$ cm².
2. $\frac{48\times 9}{3}=144$ cm³.
3. Le pavé de même base et de même hauteur $9$ cm : $48\times 9=432$ cm³.

À retenir : Une pyramide a le tiers du volume du prisme de même base et de même hauteur.

1. $\frac{\pi \times 6,25\times 12}{3}=25\pi \approx 78,5$ cm³.
2. $\sqrt{144+6,25}=\sqrt{150,25}\approx 12,26$ cm.
3. $\frac{1000}{78,5}\approx 12,7$ : on remplit $12$ cornets.

À retenir : La génératrice d’un cône est l’hypoténuse du triangle formé avec la hauteur et le rayon.

1. La diagonale mesure $6\sqrt{2}$ cm, donc $OA=3\sqrt{2}$ cm et $O{A}^2=18$.
2. Le triangle $SOA$ est rectangle en $O$ : $S{O}^2=49-18=31$, donc $SO=\sqrt{31}\approx 5,57$ cm.
3. $\frac{36\times \sqrt{31}}{3}=12\sqrt{31}\approx 66,8$ cm³.

À retenir : Dans une pyramide régulière, la hauteur tombe au centre de la base.

1. $a^2+a^2+a^2=3a^2$, donc la diagonale mesure $a\sqrt{3}$.
2. $a\sqrt{3}=9$, donc $a=\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\approx 5,2$ cm.
3. $(3\sqrt{3}{)}^3=81\sqrt{3}\approx 140,3$ cm³.

À retenir : La grande diagonale d’un cube d’arête $a$ mesure $a\sqrt{3}$.

1. $k=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$.
2. $\frac{1}{3}\times 6=2$ cm.
3. Le grand cône a $\frac{\pi \times 36\times 15}{3}=180\pi$ cm³ ; le petit, $\frac{180\pi }{27}=\frac{20\pi }{3}\approx 20,9$ cm³.

À retenir : Pour une réduction de rapport $k$, on multiplie le volume par $k^3$.

1. $k=\frac{1}{50}$.
2. $\frac{200}{50^2}=0,08$ m², soit $800$ cm².
3. $\frac{3000}{50^3}=0,024$ m³, soit $24$ L.

À retenir : Une échelle $\frac{1}{50}$ divise les aires par $2500$ et les volumes par $125000$.

1. $\frac{\pi \times 16\times 12}{3}=64\pi \approx 201,1$ cm³.
2. $k=\frac{1}{2}$.
3. $\frac{64\pi }{8}=8\pi \approx 25,1$ cm³ : seulement un huitième du verre.

À retenir : Remplir à mi-hauteur un récipient conique, c’est en remplir un huitième.

1. Vrai : ce sont deux arêtes opposées de la face $ABFE$.
2. Vrai : c’est une arête verticale du pavé.
3. Faux : elles sont parallèles.
4. Faux : elles ne sont ni sécantes ni parallèles.

À retenir : Deux droites coplanaires sont sécantes ou parallèles ; sinon, elles ne se rencontrent jamais.

1. $25\pi$ cm².
2. $49$ cm².
3. $\frac{6\times 4}{2}=12$ cm².

À retenir : Toute formule de volume commence par l’aire de la base.

1. $64$ cm³.
2. $100$ cm³.
3. $2\times 4\times 8=64$ cm³ : le cube de $4$ cm d’arête.

À retenir : Le volume d’un pavé est le produit de ses trois dimensions.

1. $\pi \times 16\times 10=160\pi \approx 502,7$ cm³.
2. $2\pi \times 4\times 10=80\pi \approx 251,3$ cm².
3. $500$ cm³ $<502,7$ cm³ : oui, de justesse.

À retenir : La surface latérale d’un cylindre déroulée est un rectangle de longueur le périmètre de la base.

1. $\pi \times 9\times 4=36\pi$ cm³.
2. $\frac{\pi \times 9\times 12}{3}=36\pi$ cm³.
3. Le cône est trois fois plus haut, ce qui compense la division par $3$ de sa formule.

À retenir : Un cône trois fois plus haut qu’un cylindre de même base a le même volume.

1. $\frac{120}{20}=6$ cm.
2. $\frac{50\pi }{25\pi }=2$ cm.
3. $\frac{3\times 12\pi }{9\pi }=4$ cm.

À retenir : Connaissant le volume, on retrouve la hauteur en divisant par l’aire de la base, et par un tiers pour un cône.

1. $A{C}^2=25+25=50$, donc $AC=5\sqrt{2}\approx 7,07$ cm.
2. $A{G}^2=50+25=75$, donc $AG=5\sqrt{3}\approx 8,66$ cm.
3. Il est rectangle en $C$, car $(CG)$ est perpendiculaire au plan de la base.

À retenir : On passe de la diagonale d’une face à la grande diagonale par un second triangle rectangle.

1. $\frac{2\times 1,5}{2}\times 3=4,5$ m³.
2. $\sqrt{1+2,25}=\sqrt{3,25}\approx 1,80$ m.
3. $2\times 1,80\times 3\approx 10,8$ m².

À retenir : Un prisme droit couché garde la même formule : aire de la face triangulaire fois la longueur.

1. Par $1,5$.
2. Par $1,5^3=3,375$.
3. $3,375\times 40=135$ cm³.

À retenir : Un agrandissement de rapport $k$ multiplie le volume par $k^3$, jamais par $k$.

1. $\frac{35^2\times 21}{3}=\frac{1225\times 21}{3}=8575$ m³.
2. Une base de $35$ cm de côté et une hauteur de $21$ cm.
3. $\frac{8575}{100^3}=0,008575$ m³, soit $8,575$ L.

À retenir : Les dimensions d’une maquette suivent l’échelle ; son volume suit le cube de l’échelle.

1. $\pi \times 9\times 6=54\pi$ cm³.
2. $\frac{54\pi }{3}=18\pi$ cm³.
3. $54\pi -18\pi =36\pi \approx 113,1$ cm³ : les deux tiers du cylindre.

À retenir : Le cône occupe le tiers du cylindre de même base et de même hauteur.

1. À $9-3=6$ cm du sommet.
2. $k=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ et le rayon vaut $\frac{2}{3}\times 6=4$ cm.
3. $\pi \times 4^2=16\pi \approx 50,3$ cm².

À retenir : Le rapport de réduction se mesure depuis le sommet du cône.