Repère dans le plan 3AC : exercices corrigés

1. $P(3;2)$ et $Q(-2;3)$.
2. $R(-3;-2)$ et $S(2;-1)$.
3. $Q$ et $R$, situés à gauche de l’axe des ordonnées.

À retenir : Le signe de l’abscisse dit si le point est à gauche ou à droite ; celui de l’ordonnée, en bas ou en haut.

1. $4$ unités vers la droite et $2$ vers le bas : $\overrightarrow{AB}(4;-2)$.
2. $3$ unités vers la gauche et $1$ vers le haut.
3. $C(1-3;4+1)$, soit $C(-2;5)$.

À retenir : Un vecteur de coordonnées $(a;b)$ déplace de $a$ horizontalement et de $b$ verticalement.

1. $(1;5)$.
2. $(0;0)$ : c’est l’origine.
3. $(1,5;2,5)$.

À retenir : Des coordonnées opposées donnent un milieu à l’origine.

1. $\overrightarrow{AB}(3;2)$ et $\overrightarrow{CD}(3;2)$ : ils sont égaux, et $ABDC$ est un parallélogramme.
2. $\overrightarrow{EF}(3;2)$ : oui.
3. $\overrightarrow{GH}(3;-2)$ : non, la seconde coordonnée diffère.

À retenir : Une seule coordonnée différente suffit pour que deux vecteurs soient différents.

1. $(2-2;6+2)$, soit $(0;8)$.
2. $(1+2;3-2)$, soit $(3;1)$.
3. $(6;-6)$.

À retenir : Chaque coordonnée se calcule séparément, avec les règles de calcul des nombres relatifs.

1. $B(3-4;-2+5)$, soit $B(-1;3)$.
2. $\overrightarrow{AC}(-8;10)$, donc $C(-5;8)$.
3. $\overrightarrow{BA}(4;-5)$, donc $D(7;-7)$.

À retenir : Pour trouver une extrémité, on ajoute les coordonnées du vecteur à celles de l’origine.

1. $\sqrt{9+16}=5$.
2. $\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
3. Même abscisse : $EF=4-(-3)=7$.

À retenir : Quand deux points ont la même abscisse, la distance est l’écart entre leurs ordonnées.

1. Même ordonnée : $AB=7-1=6$.
2. $AC=\sqrt{9+16}=5$ et $BC=\sqrt{9+16}=5$.
3. Isocèle en $C$, mais pas équilatéral, car $AB=6$.

À retenir : Comparer les trois longueurs donne la nature du triangle.

1. $\overrightarrow{AB}(2;3)$ et $\overrightarrow{AC}(6;9)$.
2. $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$ : les vecteurs sont colinéaires, les points sont alignés.
3. $\overrightarrow{AD}(4;5)$ n’est pas un multiple de $(2;3)$, car $4=2\times 2$ mais $5\ne 2\times 3$ : non.

À retenir : Trois points sont alignés quand deux vecteurs qui les relient sont colinéaires.

1. $[AB]$ est horizontal et $[AC]$ vertical : ils sont perpendiculaires en $A$.
2. C’est le milieu de l’hypoténuse $[BC]$ : $K(4;5)$.
3. $BC=\sqrt{36+64}=10$, donc le rayon vaut $5$ ; $KA=\sqrt{9+16}=5$.

À retenir : Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de l’hypoténuse.

1. Le milieu de $[AC]$ est $(1,5;2)$, celui de $[BD]$ aussi : les diagonales ont le même milieu.
2. $AC=\sqrt{9+16}=5$ et $BD=\sqrt{25+0}=5$.
3. Un parallélogramme aux diagonales de même longueur est un rectangle.
4. $A{B}^2=16+4=20$ et $B{C}^2=1+4=5$ : les côtés consécutifs diffèrent, ce n’est pas un carré.

À retenir : Pour un rectangle, on prouve un parallélogramme puis des diagonales égales.

1. $A^{\prime }(1;0)$, $B^{\prime }(3;0)$ et $C^{\prime }(2;2)$.
2. $AB=2$ et $A^{\prime }{B}^{\prime }=2$ : la translation conserve les longueurs.
3. $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\vec{u}$ : un parallélogramme.

À retenir : Dans un repère, l’image par une translation s’obtient en ajoutant les coordonnées du vecteur.

1. $(5;0)$.
2. $(0;-2)$.
3. $(0;0)$.
4. Non : il est sur l’axe des ordonnées.

À retenir : Sur l’axe des abscisses, l’ordonnée est nulle ; sur l’axe des ordonnées, l’abscisse est nulle.

1. $A(-1;1)$ et $B(3;3)$.
2. $\overrightarrow{AB}(4;2)$.
3. $\overrightarrow{CD}(3;1)$ : non.

À retenir : On lit les coordonnées des extrémités, puis on calcule arrivée moins départ.

1. $I(5;3)$.
2. $\overrightarrow{AI}(3;-2)$ et $\overrightarrow{IB}(3;-2)$.
3. $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ : $I$ est bien le milieu de $[AB]$.

À retenir : Le milieu se vérifie par l’égalité de deux vecteurs.

1. $-\vec{u}(-5;2)$.
2. $(0;0)$ : c’est le vecteur nul.
3. Par Chasles, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, soit $(1;7)$.

À retenir : La relation de Chasles se traduit par une addition de coordonnées.

1. $\overrightarrow{AB}(4;1)$.
2. $x_D=6-4=2$ et $y_D=1-1=0$ : $D(2;0)$.
3. Milieu de $[AC]$ : $(3,5;2)$ ; milieu de $[BD]$ : $(3,5;2)$.

À retenir : Le quatrième sommet d’un parallélogramme se calcule avec une égalité de vecteurs.

1. Oui : $\vec{u}=-2\vec{v}$.
2. Non : il faudrait $\vec{w}=-3\vec{v}$, qui a pour coordonnées $(3;-9)$, et non $(3;9)$.
3. $\vec{t}=-0,5\vec{v}$.

À retenir : Deux vecteurs sont colinéaires quand un même nombre multiplie leurs deux coordonnées.

1. $AB=3-(-1)=4$ et $AC=4-1=3$.
2. $BC=\sqrt{16+9}=5$.
3. Périmètre : $4+3+5=12$ ; il est rectangle en $A$, donc son aire vaut $\frac{4\times 3}{2}=6$.

À retenir : Les côtés qui suivent le quadrillage se mesurent directement ; les autres demandent la formule.

1. $A{B}^2=16+4=20$, $A{C}^2=1+4=5$ et $B{C}^2=25+0=25$.
2. $A{B}^2+A{C}^2=25=B{C}^2$ : il est rectangle en $A$.
3. $\frac{AB\times AC}{2}=\frac{\sqrt{20}\times \sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{100}}{2}=5$.

À retenir : Les carrés des distances suffisent pour la réciproque ; on ne prend les racines qu’à la fin.

1. $M{A}^2=(x-1{)}^2+9$ et $M{B}^2=(x-5{)}^2+1$.
2. $x^2-2x+10=x^2-10x+26$, soit $8x=16$ et $x=2$.
3. $M(2;0)$ : $M{A}^2=1+9=10$ et $M{B}^2=9+1=10$.

À retenir : Égaler deux distances, c’est égaler leurs carrés : les $x^2$ s’éliminent.

1. $A{B}^2=9+4=13$ ; de même $B{C}^2=C{D}^2=D{A}^2=13$ : les quatre côtés mesurent $\sqrt{13}$.
2. Quatre côtés égaux : c’est un losange.
3. $AC=6$ et $BD=4$, donc l’aire vaut $\frac{6\times 4}{2}=12$.

À retenir : L’aire d’un losange est le demi-produit de ses diagonales.

1. $A^{\prime }(4;3)$.
2. $A^{\prime \prime }(2;7)$.
3. Celle de vecteur $\vec{u}+\vec{v}(1;5)$.

À retenir : Deux translations successives équivalent à la translation de vecteur somme.

1. $\Omega$ est le milieu de $[A{A}^{\prime }]$ : $x_{A^{\prime }}=2+3=5$ et $y_{A^{\prime }}=2-2=0$, donc $A^{\prime }(5;0)$.
2. $B^{\prime }(-2;5)$.
3. $\overrightarrow{AB}(7;-5)$ et $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}(-7;5)$ : ils sont opposés, donc $(AB)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime })$ et $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$.

À retenir : Une symétrie centrale transforme un vecteur en son opposé.