Systèmes de deux équations 3AC : exercices corrigés

1. $6-1=5$ et $2+2=4$ : oui.
2. $3+2=5$, mais $1-4=-3$ : non.
3. $0-2=-2$ : non, dès la première équation.

À retenir : Dès qu’une équation n’est pas vérifiée, le couple n’est pas solution.

1. $x+3x-1=7$, donc $x=2$ et $y=5$ : $(2;5)$.
2. $6y-4y=6$, donc $y=3$ et $x=6$ : $(6;3)$.

À retenir : On remplace l’inconnue isolée par son expression, entre parenthèses si besoin.

1. $5x=20$.
2. $x=4$ et $8+y=11$, donc $y=3$.
3. $(4;3)$.

À retenir : Les coefficients $1$ et $-1$ de $y$ sont opposés : l’addition élimine $y$.

1. $6x-3y=3$.
2. $7x=14$, donc $x=2$.
3. $2+3y=11$, donc $y=3$ : la solution est $(2;3)$.

À retenir : On choisit l’inconnue à éliminer selon les coefficients les plus simples à rendre opposés.

1. $\{\begin{array}{l}x+2y=8\\ 2x-y=6\end{array}$
2. $y=2x-6$, donc $x+4x-12=8$, soit $x=4$ et $y=2$.
3. $2+2=4$ et $4-1=3$.

À retenir : On fait disparaître les décimaux en multipliant chaque équation par une puissance de dix ou par $2$.

1. $3x+2y=24$.
2. $3(y+3)+2y=24$, soit $5y=15$, donc $y=3$ et $x=6$.
3. $3+1=4$ et $6-3=3$.

À retenir : Un multiple commun des dénominateurs simplifie l’équation avant de résoudre.

1. $y=-2x+4$ et $y=x+1$.
2. $(1;2)$.
3. $2+2=4$ et $1-2=-1$ : $(1;2)$ est la solution.

À retenir : Écrire chaque équation sous forme réduite permet de tracer sa droite.

1. Même pente, ordonnées à l’origine différentes : droites parallèles distinctes, aucune solution.
2. La seconde s’écrit $y=-x+4$ : droites confondues, une infinité de solutions.
3. Pentes différentes : une seule solution, $(0;0)$.

À retenir : Les pentes des deux droites suffisent à connaître le nombre de solutions.

1. $x+y=7$ et $3x-y=9$.
2. En additionnant : $4x=16$, donc $x=4$ et $y=3$.
3. $2\times 7=14$ et $12-2=10$.

À retenir : On développe et réduit chaque équation avant de choisir la méthode.

1. $\{\begin{array}{l}x+y=20\\ 2x+5y=61\end{array}$
2. $x=20-y$, donc $40-2y+5y=61$, soit $3y=21$ : $y=7$ et $x=13$.
3. $13\times 2+7\times 5=26+35=61$ DH.

À retenir : Un nombre total d’objets et un total en argent donnent les deux équations.

1. $\{\begin{array}{l}2(L+\ell )=34\\ L-\ell =5\end{array}$
2. $L+\ell =17$ et $L-\ell =5$ : en additionnant, $2L=22$, donc $L=11$ et $\ell =6$.
3. $11\times 6=66$ cm².

À retenir : On simplifie d’abord une équation par un facteur commun.

1. $\{\begin{array}{l}x+y=10\\ 120x+90y=1020\end{array}$
2. $120x+90(10-x)=1020$, soit $30x=120$ : $x=4$ et $y=6$.
3. $480+540=1020$ DH, soit $102$ DH le kilogramme pour $10$ kg.

À retenir : Pour un mélange, une équation porte sur les quantités, l’autre sur les prix.

1. $1+3=4$, mais $1-3=-2$ : non.
2. $3+1=4$ et $3-1=2$ : oui.
3. $2+2=4$, mais $2-2=0$ : non.

À retenir : On teste chaque couple dans les deux équations.

1. $x+(x+2)=8$.
2. $2x=6$, donc $x=3$.
3. $y=5$ : la solution est $(3;5)$.

À retenir : La substitution transforme un système en une équation à une seule inconnue.

1. $2x=4$.
2. $x=2$.
3. $4+y=5$, donc $y=1$ : la solution est $(2;1)$.

À retenir : Deux coefficients égaux devant $y$ : on soustrait les équations pour l’éliminer.

1. Substitution : $3x+10-2x=13$, donc $x=3$ et $y=2$.
2. Combinaison : en additionnant, $8x=16$, donc $x=2$ ; puis $2y=-9$ et $y=-4,5$.

À retenir : Une inconnue isolée appelle la substitution ; des coefficients opposés, la combinaison.

1. $x=2y+0,5$.
2. $2(2y+0,5)+4y=7$, soit $8y=6$, donc $y=0,75$.
3. $x=1,5+0,5=2$ ; $4+3=7$ et $2-1,5=0,5$.

À retenir : Une solution n’est pas toujours entière : on garde les valeurs exactes.

1. $-3+4=1$ et $-1+8=7$.
2. Les droites $y=-3x+1$ et $y=-0,5x+3,5$ ont des pentes différentes : elles sont sécantes, la solution est unique.
3. $0+1=1$, mais $0+2=2$ et $2\ne 7$ : non.

À retenir : Deux droites de pentes différentes ont exactement un point commun.

1. $(2;3)$.
2. $\{\begin{array}{l}y=0,5x+2\\ y=-x+5\end{array}$
3. $0,5x+2=-x+5$, donc $1,5x=3$, $x=2$ et $y=3$.

À retenir : Une lecture graphique se confirme toujours par un calcul.

1. $y=2x-3$ et $y=2x+0,5$.
2. Même pente, ordonnées à l’origine différentes : les droites sont parallèles distinctes, aucune solution.
3. Avec $-4x+2y=-6$, la seconde équation est la première multipliée par $-2$ : les droites sont confondues.

À retenir : Le nombre de solutions d’un système se lit sur les pentes et les ordonnées à l’origine.

1. $\{\begin{array}{l}x+y=120\\ 50x+35y=5100\end{array}$
2. $50x+35(120-x)=5100$, soit $15x=900$ : $x=60$ et $y=60$.
3. $3000+2100=5100$ DH.

À retenir : Un total d’objets et une recette donnent deux équations.

1. $\{\begin{array}{l}x+y=42\\ x=2y-3\end{array}$
2. $2y-3+y=42$, donc $3y=45$ : $y=15$ et $x=27$.
3. $27+15=42$ et $2\times 15-3=27$.

À retenir : Une phrase comme « le double de l’autre diminué de $3$ » donne directement une substitution.

1. $\{\begin{array}{l}x+y=280\\ \frac{x}{120}+\frac{y}{80}=2,5\end{array}$
2. $2x+3y=600$ et $2x+2y=560$ : en soustrayant, $y=40$, puis $x=240$.
3. $\frac{240}{120}=2$ h et $\frac{40}{80}=0,5$ h : au total $2,5$ h.

À retenir : Une durée est une distance divisée par une vitesse : cela donne une équation à fractions.

1. $\{\begin{array}{l}2a+b=7\\ 5a+b=16\end{array}$
2. En soustrayant : $3a=9$, donc $a=3$ et $b=1$.
3. $f(x)=3x+1$ ; $f(2)=7$ et $f(5)=16$.

À retenir : Deux valeurs d’une fonction affine donnent un système dont les inconnues sont $a$ et $b$.