Vecteurs et translation 3AC : exercices corrigés

1. Oui : chacune avance de deux carreaux pour un vers le haut ou vers le bas, sur des droites parallèles.
2. $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{EF}$ ; $\overrightarrow{CD}$ est de sens contraire.
3. $AB=CD=2EF$ : $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

À retenir : Un vecteur se caractérise par sa direction, son sens et sa longueur.

1. Faux : ces vecteurs sont opposés.
2. Vrai : deux vecteurs égaux ont la même longueur.
3. Faux : la direction ou le sens peuvent différer.
4. Vrai.

À retenir : Une égalité de longueurs ne suffit pas à une égalité de vecteurs.

1. Avec n’importe quel point $B$ : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
2. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PN}$.
3. $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{EF}$.

À retenir : Chasles permet d’insérer n’importe quel point entre l’origine et l’extrémité d’un vecteur.

1. $\overrightarrow{AC}$, d’après la règle du parallélogramme.
2. $\vec{0}$ : $O$ est le milieu de $[AC]$.
3. $\overrightarrow{AC}$, par Chasles.
4. $\overrightarrow{BD}$.

À retenir : Dans un parallélogramme, les côtés opposés et les demi-diagonales donnent des vecteurs égaux ou opposés.

1. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}$.
2. $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}$.
3. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}$, et $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}=\vec{0}$.

À retenir : Pour démontrer une égalité vectorielle, on introduit avec Chasles les points du membre d’arrivée.

1. $\vec{v}$ avance de $1$ et descend de $2$, donc $-\vec{v}$ recule de $1$ et monte de $2$.
2. $B$ est à $3$ carreaux à droite et $2$ au-dessus de $A$ ; $C$ est à $1$ carreau à gauche et $2$ au-dessus de $B$.
3. $2$ carreaux à droite et $4$ vers le haut.

À retenir : Soustraire un vecteur, c’est ajouter son opposé.

1. Oui : $\vec{v}=-3\vec{u}$, car chaque déplacement est multiplié par $-3$.
2. Non : pour obtenir $4$ horizontalement il faudrait $2\vec{u}$, qui descendrait de $2$ au lieu de monter.
3. $-\frac{1}{2}\vec{w}$, qui recule de $2$ et descend de $1$.

À retenir : Deux vecteurs sont colinéaires quand le même coefficient transforme leurs deux déplacements.

1. $M$ est sur la demi-droite $[AB)$, au-delà de $B$, avec $AM=\frac{3}{2}\times 4=6$ cm.
2. $N$ est sur la droite $(AB)$, de l’autre côté de $A$, avec $AN=2$ cm.
3. $N$, $A$, $B$, $M$ sont alignés dans cet ordre : $MN=2+6=8$ cm.

À retenir : Le signe du coefficient donne le côté, sa valeur donne la distance.

1. $ABCD$ est un parallélogramme.
2. Les deux sont égaux à $\overrightarrow{AB}$.
3. $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BE}$ : c’est un parallélogramme.
4. Ce sont les diagonales du parallélogramme $DCEB$ : ils ont le même milieu.

À retenir : Une égalité de vecteurs se transmet : deux vecteurs égaux à un même troisième sont égaux.

1. C’est le cercle de même rayon et de centre $O^{\prime }$, image de $O$, à $4$ carreaux à droite et $1$ au-dessus.
2. On construit les images $M^{\prime }$ et $N^{\prime }$ des extrémités, puis on les joint.
3. Ils sont parallèles et de même longueur, car $MN{N}^{\prime }{M}^{\prime }$ est un parallélogramme.

À retenir : L’image d’un cercle est le cercle de même rayon centré sur l’image du centre.

1. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.
2. Un parallélogramme, car $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.
3. $\overrightarrow{CD}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ et part de $C$ : $D$ est aussi sur la droite $(AB)$.

À retenir : Une translation transforme une droite en une droite parallèle, ou en elle-même si le vecteur la dirige.

1. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{AI}$, car $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}$.
2. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$.
3. $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ : $I$ est le milieu de $[AD]$, les diagonales se coupent en leur milieu.

À retenir : Le milieu d’un segment se traduit par deux vecteurs opposés, qui s’annulent dans une somme.

1. $\overrightarrow{FO}$, $\overrightarrow{OC}$ et $\overrightarrow{ED}$.
2. $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{FE}$ et $\overrightarrow{OD}$.
3. $ABOF$ est un parallélogramme : la somme vaut $\overrightarrow{AO}$.

À retenir : Dans un hexagone régulier, les côtés et les rayons forment des losanges : on y trouve beaucoup de vecteurs égaux.

1. $3$ carreaux vers la droite et $2$ vers le haut.
2. $1$ carreau vers la gauche et $4$ vers le haut.
3. On ajoute les déplacements : $2$ carreaux vers la droite et $6$ vers le haut.

À retenir : Sur un quadrillage, la somme de deux vecteurs ajoute les déplacements horizontaux et les déplacements verticaux.

1. Oui : $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$.
2. Oui : on revient en $A$.
3. Non : c’est $2\overrightarrow{AB}$.

À retenir : Une somme est nulle quand le chemin revient à son point de départ.

1. $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$.
2. $\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}$.
3. $\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{PP}=\vec{0}$.

À retenir : On transforme chaque soustraction en addition de l’opposé, puis on enchaîne les lettres.

1. $\overrightarrow{AC}$ : un losange est un parallélogramme.
2. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ et $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$ : la somme est nulle.
3. $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$.

À retenir : Le centre d’un parallélogramme est le milieu de chaque diagonale.

1. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
2. $\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{IF}$.
3. $\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{PQ}$.

À retenir : Chaque situation géométrique a sa traduction vectorielle : c’est elle qui sert dans les calculs.

1. On fait deux fois le déplacement de $A$ vers $B$ : $C$ est à $4$ carreaux à droite et $2$ au-dessus de $A$.
2. $D$ est à $2$ carreaux à gauche et $1$ au-dessous de $A$.
3. Ils sont alignés : $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont colinéaires à $\overrightarrow{AB}$.

À retenir : Multiplier un vecteur par un nombre garde sa direction : les points obtenus restent sur la même droite.

1. $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}=-2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$.
2. $2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=2(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=2\overrightarrow{BC}$.
3. Les vecteurs sont colinéaires : $(EF)\parallel (BC)$, et $EF=2BC$.

À retenir : Deux vecteurs colinéaires dirigent des droites parallèles ; le coefficient donne le rapport des longueurs.

1. $\overrightarrow{PA}$ et $\overrightarrow{PB}$ sont opposés : $P$ est le milieu de $[AB]$.
2. $\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{AB}$, donc $\overrightarrow{QA}+2\overrightarrow{QA}+2\overrightarrow{AB}=\vec{0}$.
3. $3\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AB}$, donc $\overrightarrow{AQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

À retenir : Pour placer un point défini par une égalité, on exprime son vecteur depuis un point connu.

1. Chaque sommet est déplacé de $4$ carreaux vers la droite et de $1$ vers le haut.
2. Un carré de $2$ carreaux de côté, d’aire $4$ carreaux, comme $ABCD$.
3. Oui : $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ est un parallélogramme, donc $(A^{\prime }{B}^{\prime })\parallel (AB)$.

À retenir : Une translation conserve la nature, les dimensions et l’orientation des figures.

1. $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AB}$.
2. $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{CD}$ : les vecteurs sont colinéaires et partent de $C$.
3. $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DE}$ : $D$ est le milieu de $[CE]$.

À retenir : Deux vecteurs égaux qui se suivent font du point intermédiaire un milieu.

1. $\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{MO}$, car $O$ est le milieu de $[AC]$.
2. $O$ est aussi le milieu de $[BD]$.
3. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$, quel que soit le point $M$.

À retenir : Le centre d’un parallélogramme est le milieu des deux diagonales : il sert d’intermédiaire commun.