Bissectrice et hauteur 1AC : exercices corrigés

1. Vrai : $90^{\circ }÷2=45^{\circ }$.
2. Faux : seulement lorsque $AB=AC$.
3. Vrai : c’est sa définition.
4. Faux : c’est la médiane qui passe par ce milieu.

À retenir : On justifie chaque réponse par une définition ou un contre-exemple.

1. $2\times 35^{\circ }=70^{\circ }$.
2. $150^{\circ }÷2=75^{\circ }$.
3. $98^{\circ }÷2=49^{\circ }$.

À retenir : Les deux angles formés par une bissectrice sont égaux.

1. La hauteur issue de $R$.
2. Le pied de la hauteur.
3. L’orthocentre du triangle.
4. Le centre du cercle inscrit.

À retenir : Chaque droite remarquable a son point de concours, avec un nom différent.

1. $72^{\circ }÷2=36^{\circ }$.
2. $36^{\circ }÷2=18^{\circ }$.
3. Une de plus : $18^{\circ }÷2=9^{\circ }$, soit trois bissectrices.

À retenir : Chaque nouvelle bissectrice divise encore la mesure par $2$.

1. Les trois pieds sont sur les côtés : les hauteurs se coupent à l’intérieur du triangle.
2. Celles issues de $D$ et de $E$ : leurs pieds sont sur les prolongements de $[EF]$ et de $[DF]$.
3. À l’extérieur du triangle, du côté de l’angle obtus.

À retenir : La position de l’orthocentre dépend de la nature des angles du triangle.

1. $2,5$ cm : un point de la bissectrice est à la même distance des deux côtés.
2. On trace la perpendiculaire à $(Ox)$ passant par $M$ et on mesure le segment jusqu’au pied.
3. Non : ses deux distances aux côtés sont différentes.

À retenir : Les distances d’un point à une droite se mesurent toujours perpendiculairement.

1. $[AB]$ n’est pas perpendiculaire à $(BC)$ : ce n’est pas la hauteur correspondant à la base $BC$.
2. $9\times 4÷2=18$ cm².
3. Si le triangle était rectangle en $B$ : $[AB]$ serait alors la hauteur issue de $A$.

À retenir : La hauteur est le segment perpendiculaire à la base, pas un côté quelconque.

1. La droite $(SR)$, perpendiculaire à $(RT)$.
2. $5\times 12÷2=30$ cm².
3. $RH=2\times 30÷13\approx 4,6$ cm.

À retenir : Dans un triangle rectangle, les côtés de l’angle droit donnent directement l’aire.

1. $180^{\circ }-70^{\circ }-30^{\circ }=80^{\circ }$, puis $80^{\circ }÷2=40^{\circ }$.
2. Dans $ABH$ rectangle en $H$ : $90^{\circ }-70^{\circ }=20^{\circ }$.
3. $40^{\circ }-20^{\circ }=20^{\circ }$.

À retenir : La hauteur et la bissectrice issues d’un même sommet ne sont pas confondues en général.

1. $\widehat{COB}=180^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }$ et $\widehat{BOD}=50^{\circ }$, opposé par le sommet à $\widehat{AOC}$.
2. $50^{\circ }÷2=25^{\circ }$ chacun.
3. $\widehat{xOy}=25^{\circ }+130^{\circ }+25^{\circ }=180^{\circ }$ : c’est un angle plat.

À retenir : Pour prouver un alignement, on montre que l’angle obtenu mesure $180^{\circ }$.

1. Le triangle est isocèle en $A$ : la droite issue du sommet principal est à la fois bissectrice, médiane et hauteur.
2. $60^{\circ }÷2=30^{\circ }$, puis $180^{\circ }-30^{\circ }-30^{\circ }=120^{\circ }$.
3. Les hauteurs sont les bissectrices : l’orthocentre est le point $I$.

À retenir : Dans un triangle équilatéral, les droites remarquables issues d’un même sommet sont confondues.

1. $40\times 25÷2=500$ m².
2. Chaque partie a une base de $20$ m et la même hauteur de $25$ m : $20\times 25÷2=250$ m².
3. Non : elle ne coupe pas $[BC]$ en son milieu en général, les deux parties n’auraient pas la même base.

À retenir : Deux triangles de même hauteur et de bases égales ont la même aire.

1. $F$, le sommet de l’angle.
2. $(FG)$, qui porte le côté opposé à $E$.
3. $84^{\circ }÷2=42^{\circ }$.

À retenir : La lettre du milieu d’un angle indique le sommet d’où part la bissectrice.

1. $25^{\circ }$.
2. $62^{\circ }$.
3. $4,5^{\circ }$.
4. $86,5^{\circ }$.

À retenir : Partager un angle en deux revient à diviser sa mesure par $2$.

1. $12\times 5÷2=30$ cm².
2. $7\times 4,2÷2=14,7$ cm².
3. On convertit : $25$ cm. Aire : $25\times 8÷2=100$ cm².

À retenir : Base et hauteur doivent être dans la même unité avant le calcul.

1. On trace un angle droit à l’équerre, puis sa bissectrice au compas : $90^{\circ }÷2=45^{\circ }$.
2. On construit la bissectrice d’un angle de $45^{\circ }$ : $45^{\circ }÷2=22,5^{\circ }$.
3. On accole un angle droit et un angle de $45^{\circ }$ : $90^{\circ }+45^{\circ }=135^{\circ }$.

À retenir : Angle droit et bissectrices permettent de construire plusieurs angles sans rapporteur.

1. Non : les deux angles devraient mesurer $80^{\circ }÷2=40^{\circ }$ chacun.
2. Elle a sans doute changé l’ouverture entre les arcs de centres $E$ et $F$.
3. De $2^{\circ }$ : $40^{\circ }-38^{\circ }=2^{\circ }$.

À retenir : Un contrôle au rapporteur révèle une construction imprécise.

1. Non : le milieu d’un côté n’est pas le pied de la hauteur dans un triangle quelconque.
2. Lorsque $AB=AC$ : la médiane issue de $A$ est alors aussi la hauteur.
3. Elle est aussi la bissectrice de $\hat{A}$.

À retenir : Seul le triangle isocèle fait coïncider médiane, hauteur et bissectrice issues du sommet principal.

1. Sur le prolongement de $[EF]$ au-delà de $E$, à l’extérieur du triangle.
2. Oui, avec la hauteur correspondante $DK$, même si son pied est à l’extérieur.
3. $6\times 3,8÷2=11,4$ cm².

À retenir : La formule de l’aire reste valable quand le pied de la hauteur est hors du côté.

1. $90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$.
2. Même calcul dans $ACL$ : $90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$.
3. $70^{\circ }-30^{\circ }=40^{\circ }$ et $50^{\circ }-30^{\circ }=20^{\circ }$, donc $\widehat{BHC}=180^{\circ }-40^{\circ }-20^{\circ }=120^{\circ }$.

À retenir : Chaque hauteur crée des triangles rectangles où les angles aigus sont complémentaires.

1. $(180^{\circ }-36^{\circ })÷2=72^{\circ }$, puis $72^{\circ }÷2=36^{\circ }$.
2. $\widehat{BAD}=\widehat{ABD}=36^{\circ }$ : deux angles égaux, il est isocèle en $D$.
3. $\widehat{DBC}=36^{\circ }$ et $\hat{C}=72^{\circ }$, donc $\widehat{BDC}=72^{\circ }$ : $BCD$ est isocèle en $B$.

À retenir : Deux angles égaux dans un triangle prouvent qu’il est isocèle.

1. $1,5$ cm : $I$ est à la même distance des trois côtés.
2. Le cercle inscrit, qui touche les trois côtés du triangle.
3. Chaque triangle a pour hauteur $1,5$ cm : aire $=18\times 1,5÷2=13,5$ cm².

À retenir : Le centre du cercle inscrit est à la même distance des trois côtés : cette distance est son rayon.

1. Sur la bissectrice de l’angle formé par les deux allées.
2. $70^{\circ }÷2=35^{\circ }$.
3. Au point de concours des trois bissectrices : le centre du cercle inscrit.

À retenir : Égale distance de deux droites qui se coupent : on pense à la bissectrice.

1. Sur une droite parallèle à $(BC)$ située à $3$ cm d’elle.
2. Deux : le cercle de centre $B$ et de rayon $4$ cm coupe cette parallèle en deux points, car $4>3$.
3. $7\times 3÷2=10,5$ cm², quelle que soit la position choisie.

À retenir : Tous les points à la même distance d’une droite sont sur une parallèle à cette droite.