Inégalité triangulaire et médiatrice 1AC : exercices corrigés

1. $300+450=750$ m.
2. Non : d’après l’inégalité triangulaire, $ME\le MB+BE$, soit $ME\le 750$ m.
3. Lorsque la boulangerie est sur le segment $[ME]$ : les trois points sont alignés.

À retenir : Le trajet direct est toujours le plus court : passer par un troisième point ne peut pas raccourcir le chemin.

1. $(d)$ passe par le milieu $I$ de $[PQ]$ et elle est perpendiculaire à $(PQ)$ : c’est la médiatrice de $[PQ]$.
2. $S$ est sur la médiatrice, donc $SQ=SP=7$ cm.
3. Non : $(d)$ passerait par le milieu de $[PQ]$, mais rien ne prouverait qu’elle est perpendiculaire à $(PQ)$.

À retenir : Pour reconnaître une médiatrice sur une figure, on cherche les deux codages : le milieu et l’angle droit.

1. Oui, car $MA=MB$.
2. Non, car $NA\ne NB$.
3. Oui : $IA=IB=2,5$ cm.
4. Non : $AA=0$ cm et $AB=5$ cm.

À retenir : Un point est sur la médiatrice de $[AB]$ exactement lorsqu’il est à la même distance de $A$ et de $B$.

1. Non : $3+3=6$ et $7>6$.
2. Oui : $5<6$.
3. Il faut une base strictement plus petite que $6$ cm : $1$, $2$, $3$, $4$ ou $5$ cm.
4. Non : $4+4=8$, les trois points seraient alignés.

À retenir : Dans un triangle isocèle, la base doit être plus petite que la somme des deux côtés égaux.

1. On place $I$ à $3$ cm de $B$, on trace la perpendiculaire $(d)$ en $I$, puis on reporte $4$ cm sur $(d)$ à partir de $I$.
2. $A$ est sur la médiatrice de $[BC]$, donc $AB=AC$ : le triangle est isocèle en $A$.
3. On trouve $AB=AC=5$ cm.

À retenir : Un sommet placé sur la médiatrice de la base donne toujours un triangle isocèle.

1. $G$ et $H$ s’obtiennent avec un arc de rayon $5$ cm qui coupe $(m)$ de chaque côté de $(EF)$.
2. $G$ et $H$ sont sur la médiatrice : $GF=GE=5$ cm et $HE=HF=5$ cm. Les quatre côtés sont égaux, c’est un losange.
3. $EG=EH$ et $FG=FH$ : $E$ et $F$ sont sur la médiatrice de $[GH]$, donc $(EF)$ est cette médiatrice.

À retenir : Deux points équidistants des extrémités d’un segment déterminent sa médiatrice.

1. On construit la médiatrice de $[AB]$ : elle coupe $[AB]$ en son milieu $I$. On construit ensuite les médiatrices de $[AI]$ et de $[IB]$, qui donnent leurs milieux $J$ et $K$.
2. $10÷4=2,5$ cm.
3. On mesure $AJ$, $JI$, $IK$ et $KB$ : chacune doit valoir $2,5$ cm.

À retenir : La médiatrice construite au compas donne le milieu d’un segment sans le mesurer.

1. $42+58=100$ : on a $PR=PQ+QR$, donc $Q$ est sur le segment $[PR]$.
2. $SP+SR=100=PR$, donc $S$ est sur $[PR]$, et $SP=SR$ : $S$ est le milieu de $[PR]$.
3. Non : $60+60=120$ dépasse $100$. $T$ est sur la médiatrice de $[PR]$, mais en dehors du segment.

À retenir : Des distances qui s’ajoutent exactement indiquent des points alignés.

1. Les cercles de rayon $4$ cm et de centres $A$ et $B$ se coupent en deux points, car $4+4>6$.
2. $3+3=6$ : il n’y a qu’un point, le milieu de $[AB]$.
3. $2+2<6$ : les cercles ne se coupent pas, il n’y a aucun point.
4. Sur la médiatrice de $[AB]$, puisqu’ils sont équidistants de $A$ et de $B$.

À retenir : Deux cercles de même rayon centrés en $A$ et $B$ se coupent sur la médiatrice de $[AB]$, si leur rayon est assez grand.

1. Dans le triangle $ABC$ : $AC\le AB+BC$, et $3+4=7$.
2. Dans le triangle $ACD$ : $AD\le AC+CD$, donc $AD$ est au plus $7+5=12$ cm.
3. Non, puisque $AD\le 12$ cm.

À retenir : On applique l’inégalité triangulaire dans deux triangles successifs en passant par une diagonale.

1. Il doit être plus petit que la somme des deux autres, qui vaut $12$ moins ce côté : il est donc plus petit que la moitié de $12$.
2. Avec un plus grand côté de $5$ cm : $5$, $5$, $2$ et $5$, $4$, $3$. Avec $4$ cm : $4$, $4$, $4$. Il y a $3$ triangles.
3. $5$, $5$, $2$ est isocèle ; $4$, $4$, $4$ est équilatéral ; $5$, $4$, $3$ n’a aucun côté égal.

À retenir : On organise la recherche à partir du plus grand côté, pour ne rien oublier et ne rien compter deux fois.

1. $(m)\perp (AB)$ et $(AB)\parallel (DC)$, donc $(m)\perp (DC)$.
2. $AIJD$ a trois angles droits : c’est un rectangle, donc $DJ=AI=4$ cm, et $JC=8-4=4$ cm.
3. $J$ est le milieu de $[DC]$ et $(m)\perp (DC)$ en $J$ : c’est la médiatrice de $[DC]$.
4. $I$ est sur la médiatrice de $[DC]$, donc $ID=IC$.

À retenir : Une droite perpendiculaire à l’une de deux parallèles l’est aussi à l’autre : une médiatrice peut en cacher une seconde.

1. Oui : $5<3+4$.
2. Non : $2+4=6$, le triangle serait aplati.
3. Non : $7>2+3$, les morceaux ne se rejoignent pas.
4. Non : les deux autres mesureraient ensemble $6$ cm ou moins, ce qui ne dépasse pas le grand morceau.

À retenir : Avec un périmètre fixé, chaque côté doit rester inférieur à la moitié du périmètre.

1. Oui : ce sont exactement les deux conditions de la définition.
2. Non : elle ne passe pas par le milieu de $[AB]$.
3. Non : elle n’est pas perpendiculaire à $(AB)$.
4. Oui : ces deux points sont sur la médiatrice, et une seule droite passe par eux.

À retenir : On vérifie les deux conditions de la définition, ou l’on utilise deux points équidistants des extrémités.

1. $K$ est le milieu de $[RS]$ : $KR=9÷2=4,5$ cm.
2. $T$ est sur la médiatrice de $[RS]$ : $TS=TR=6$ cm.
3. $6+6+9=21$ cm.
4. Il est isocèle en $T$, puisque $TR=TS$.

À retenir : Un point de la médiatrice et les extrémités du segment forment toujours un triangle isocèle.

1. On trace $[BC]$, puis deux arcs de rayon $5$ cm, de centres $B$ et $C$ : $A$ est leur intersection.
2. On trace la médiatrice de $[BC]$, puis un arc de centre $B$ et de rayon $5$ cm : il coupe la médiatrice en $A$.
3. Dans les deux cas, $A$ est à $5$ cm de $B$ et de $C$ : il est équidistant de $B$ et $C$, donc sur la médiatrice de $[BC]$.

À retenir : Le sommet principal d’un triangle isocèle est sur la médiatrice de sa base.

1. Non : les deux autres mesureraient ensemble $10$ cm, autant que lui. Le triangle serait aplati.
2. Oui : les deux autres mesurent ensemble $11$ cm, et $9<11$.
3. Un côté doit être plus petit que la moitié de $20$ cm : au plus $9$ cm.

À retenir : Un côté est plus court que la somme des deux autres, donc plus court que la moitié du périmètre.

1. Le pli est la médiatrice de $[AB]$.
2. Chaque point du pli reste à la même distance de $A$ et de $B$, car $A$ se superpose à $B$. Le pli est donc formé de points équidistants de $A$ et de $B$.
3. C’est le point où le pli coupe le segment $[AB]$.

À retenir : La médiatrice d’un segment est l’axe qui échange ses deux extrémités.

1. $P$, $R$ et $S$, car chacun est à la même distance de $A$ et de $B$. $Q$ ne l’est pas.
2. $R$ : $RA+RB=2,5+2,5=5=AB$, donc $R$ est sur $[AB]$, et il est équidistant de $A$ et $B$.
3. Oui : ils appartiennent tous les trois à la médiatrice de $[AB]$.

À retenir : Les points équidistants de $A$ et de $B$ sont tous sur une même droite, la médiatrice.

1. Le trésor est sur la médiatrice de $[PQ]$, qui passe par $R$. Les points de cette droite à $4$ cm de $R$ sont au nombre de deux.
2. La médiatrice est à $3$ cm de $P$ en $R$ ; le cercle de centre $P$ et de rayon $4$ cm la coupe en deux points.
3. Aucune position : tout point de la médiatrice est à au moins $3$ cm de $P$.

À retenir : Un lieu se trouve par intersection : une médiatrice et un cercle se coupent en zéro, un ou deux points.

1. $M$ est sur la médiatrice de $[BC]$, donc $MB=MC$.
2. Le périmètre vaut $AB+BM+MA=AB+MC+MA$. Comme $M\in [AC]$, $MC+MA=AC$ : le périmètre est $AB+AC$.
3. $5+9=14$ cm.

À retenir : Remplacer une longueur par une longueur égale, grâce à la médiatrice, permet de calculer sans mesurer.

1. Faux : $B$ est sur $[AC]$, mais pas forcément au milieu, par exemple avec $AB=2$ cm et $BC=5$ cm.
2. Faux : un point de la médiatrice situé hors du segment vérifie $MA=MB$ sans être le milieu.
3. Vrai : la médiatrice passe par le milieu du segment.
4. Vrai : c’est l’inégalité triangulaire, stricte puisque les points ne sont pas alignés.

À retenir : Un contre-exemple précis suffit pour montrer qu’une affirmation est fausse.

1. Le centre $O$ est à la même distance de tous les points du cercle : $OA=OB=OC$.
2. $OA=OB$, donc $O$ est sur la médiatrice de $[AB]$ ; $OB=OC$, donc $O$ est sur celle de $[BC]$.
3. On place trois points sur le cercle, on construit les médiatrices de $[AB]$ et de $[BC]$ : leur point d’intersection est le centre.

À retenir : Le centre d’un cercle est sur la médiatrice de chacune de ses cordes.

1. Oui : $5<3+4$.
2. Non : $AD+CD=1+3=4$, alors que $AC=5$ est plus grand. La figure est impossible.
3. Il faut $5<1+CD$, donc $CD>4$, et $CD<5+1=6$ : $CD$ doit être strictement compris entre $4$ et $6$ cm.

À retenir : Dans une figure à plusieurs triangles, on teste l’inégalité triangulaire dans chacun d’eux.