Bissectrice et hauteur d'un triangle

La bissectrice d’un angle le partage en deux angles de même mesure. Une hauteur d’un triangle passe par un sommet et est perpendiculaire à la droite qui porte le côté opposé. Ces deux constructions répondent à des questions différentes : partager un angle ou tracer une perpendiculaire. Ce cours de maths 1AC t’aide à les reconnaître et à les construire sans les confondre.

Conforme au programme officiel du Ministère de l'Éducation Nationale (2025-2026) · Mis à jour le 20 octobre 2026

À la fin de ce chapitre, vous saurez

Construire une bissectrice au compas
Tracer une hauteur avec l’équerre
Calculer un angle partagé par une bissectrice
Repérer une hauteur extérieure au triangle
Distinguer hauteur, médiane et médiatrice

PrérequisLire la notation d’un angle · Construire une droite perpendiculaire · Utiliser le compas et le rapporteur

Deux triangles scalènes comparent une bissectrice partageant un angle de 80° en deux angles de 40° et une hauteur perpendiculaire au côté opposé. — La bissectrice partage un angle ; la hauteur est perpendiculaire au côté opposé.

Qu’est-ce que la bissectrice d’un angle ?

Définition

Bissectrice : La bissectrice d’un angle est la demi-droite issue de son sommet qui partage cet angle en deux angles de même mesure. Si est la bissectrice de , alors .

Un angle partagé

L’angle mesure et est sa bissectrice.

Chaque angle obtenu mesure la moitié de .
.

Angle BAC de 76° partagé par la demi-droite AD en deux angles de 38°. — La bissectrice partage 76° en deux angles égaux de 38°.

Dans un triangle, on représente souvent la partie de la bissectrice située entre le sommet et le côté opposé. Le point où elle rencontre ce côté n’est pas nécessairement son milieu. C’est l’égalité des deux angles, et non celle de deux longueurs, qui caractérise ici la construction.

Comment construire une bissectrice au compas ?

Méthode

Partager l’angle BAC

Tracer un arc de centre qui coupe les deux côtés de l’angle en et .
Sans changer l’ouverture du compas, tracer deux arcs de centres et , assez grands pour se couper à l’intérieur de l’angle en .
Tracer la demi-droite .
Coder les deux angles égaux. Un contrôle au rapporteur permet de vérifier le soin du tracé.

Les deux premiers points sont à la même distance de et le point est à la même distance de et . Ce choix symétrique explique la construction. Il faut conserver la même ouverture pour les deux arcs de centres et  ; des ouvertures différentes ne garantissent plus le partage égal.

Qu’est-ce qu’une hauteur d’un triangle ?

Définition

Hauteur issue de A : Dans le triangle , la hauteur issue de est la droite passant par et perpendiculaire à . Son intersection avec est le pied de la hauteur ; on a .

Le mot hauteur peut aussi désigner la longueur dans une formule d’aire. Il faut alors associer cette longueur à la bonne base : avec la base , on utilise la distance de à la droite . Changer de base oblige à choisir la hauteur correspondante.

Tracer une hauteur à l’équerre

Méthode

Obtenir le pied H

Repérer le sommet choisi et la droite qui porte le côté opposé.
Poser un côté de l’angle droit de l’équerre sur cette droite.
Faire glisser l’équerre jusqu’à ce que l’autre côté de l’angle droit passe par le sommet.
Tracer la perpendiculaire, nommer son pied et coder l’angle droit.

Triangle ABC obtus en B ; la hauteur AH est perpendiculaire à la droite BC et son pied H est sur le prolongement au-delà de B. — La hauteur issue de A est perpendiculaire à la droite (BC), même si H est extérieur.

Pourquoi une hauteur peut-elle être à l’extérieur ?

Dans un triangle obtus, certains pieds de hauteur appartiennent au prolongement d’un côté. On prolonge alors ce côté avec une règle avant de placer l’équerre. La définition parle de la droite qui porte le côté opposé, et pas seulement du segment. Dans un triangle rectangle, deux côtés portent déjà deux des hauteurs.

Aire et hauteur

Un triangle a une base de cm et une hauteur correspondante de cm.

Son aire vaut la moitié du produit base × hauteur.
cm², même si le pied est sur le prolongement de la base.

Bissectrices et hauteurs : points de rencontre

Propriété

Cercles et concours

Les trois bissectrices intérieures d’un triangle se rencontrent au centre de son cercle inscrit. Les trois hauteurs se rencontrent à l’orthocentre. Ces deux points ne sont généralement pas confondus.

Un point de la bissectrice intérieure est à égale distance des deux côtés de l’angle. Ces distances se mesurent perpendiculairement aux côtés. C’est pourquoi le point commun aux bissectrices est le centre d’un cercle tangent aux trois côtés. Pour construire ce cercle, on trace une perpendiculaire du centre à un côté afin d’obtenir son rayon.

Distinguer les quatre droites remarquables

Construction	Ce qu’il faut vérifier
Bissectrice	Elle part du sommet et partage l’angle en deux angles égaux
Hauteur	Elle passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé
Médiane	Elle joint un sommet au milieu du côté opposé
Médiatrice	Elle est perpendiculaire à un segment en son milieu

Attention

Dans un triangle quelconque, ces droites ne se superposent pas. Dans un triangle isocèle, la droite issue du sommet principal vers le milieu de la base est un cas particulier où plusieurs rôles coïncident. Ne généralise pas ce cas à tous les triangles.

Questions fréquentes

Comment reconnaître une hauteur dans un triangle ?

Cherche une droite qui passe par un sommet et forme un angle droit avec la droite du côté opposé. Le passage par un milieu ne suffit pas.

Comment construire une bissectrice sans rapporteur ?

Avec un compas, marque deux points à égale distance du sommet sur les côtés de l’angle. Trace deux arcs de même rayon centrés sur ces points, puis relie leur intersection au sommet.

Une hauteur est-elle toujours à l’intérieur du triangle ?

Non. Dans un triangle obtus, il faut prolonger certains côtés pour trouver les pieds des hauteurs. Dans un triangle rectangle, deux hauteurs sont portées par ses côtés.

Bissectrice et médiane sont-elles identiques ?

En général, non : l’une partage un angle, l’autre rejoint un milieu. Elles peuvent coïncider dans des configurations particulières, comme au sommet principal d’un triangle isocèle.

Quiz : 12 questions sur ce chapitre

12 questions tirées au hasard parmi les 12 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.

Q1Que partage une bissectrice ?

Bonne réponse : Un angle en deux angles égaux

La bissectrice est définie par l’égalité des deux angles qu’elle forme.

Q2La moitié d’un angle de 106° vaut :

Bonne réponse :

Une bissectrice donne deux angles de .

Q3Une hauteur issue de A doit être :

Bonne réponse : Perpendiculaire à BC

La hauteur passe par A et est perpendiculaire à la droite qui porte le côté opposé BC.

Q4Quel outil permet de tracer directement une hauteur ?

Bonne réponse : L’équerre

L’angle droit de l’équerre permet de construire la perpendiculaire au côté opposé.

Q5Le pied d’une hauteur peut-il être hors du segment opposé ?

Bonne réponse : Oui

La hauteur rencontre la droite du côté opposé, éventuellement sur son prolongement.

Q6Une médiane passe par :

Bonne réponse : Le milieu du côté opposé

La médiane joint un sommet au milieu du côté opposé, sans imposer un angle droit.

Q7Les trois hauteurs se rencontrent à :

Bonne réponse : L’orthocentre

Le point commun aux trois hauteurs est appelé orthocentre du triangle.

Q8Les bissectrices intérieures se rencontrent au centre :

Bonne réponse : Du cercle inscrit

Ce point est à la même distance des trois côtés, ce qui permet de tracer le cercle inscrit.

Q9Une bissectrice donne un demi-angle de 31°. L’angle entier vaut :

Bonne réponse :

L’angle entier est composé de deux angles égaux : .

Q10Pour une base de 10 cm et une hauteur de 6 cm, l’aire vaut :

Bonne réponse : 30 cm²

L’aire du triangle est cm².

Q11La médiatrice d’un côté passe nécessairement par :

Bonne réponse : Le milieu de ce côté

La médiatrice est perpendiculaire au segment en son milieu ; elle ne passe pas forcément par un sommet.

Q12Dans un triangle rectangle, l’orthocentre est :

Bonne réponse : Au sommet de l’angle droit

Les deux côtés de l’angle droit portent deux hauteurs qui se rencontrent à ce sommet.

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Le chapitre est à revoir en entier

Ne recommencez pas le quiz tout de suite : relisez d'abord tout le cours, en refaisant sur votre cahier chaque exemple guidé au lieu de le lire. Enchaînez avec les exercices « facile », correction masquée, puis revenez ici. C'est en une seule séance de travail que la note change.

À revoir : 12 questions manquées

Que partage une bissectrice ?
Bonne réponseUn angle en deux angles égaux
La bissectrice est définie par l’égalité des deux angles qu’elle forme.
La moitié d’un angle de 106° vaut :
Bonne réponse
Une bissectrice donne deux angles de .
Une hauteur issue de A doit être :
Bonne réponsePerpendiculaire à BC
La hauteur passe par A et est perpendiculaire à la droite qui porte le côté opposé BC.
Quel outil permet de tracer directement une hauteur ?
Bonne réponseL’équerre
L’angle droit de l’équerre permet de construire la perpendiculaire au côté opposé.
Le pied d’une hauteur peut-il être hors du segment opposé ?
Bonne réponseOui
La hauteur rencontre la droite du côté opposé, éventuellement sur son prolongement.
Une médiane passe par :
Bonne réponseLe milieu du côté opposé
La médiane joint un sommet au milieu du côté opposé, sans imposer un angle droit.
Les trois hauteurs se rencontrent à :
Bonne réponseL’orthocentre
Le point commun aux trois hauteurs est appelé orthocentre du triangle.
Les bissectrices intérieures se rencontrent au centre :
Bonne réponseDu cercle inscrit
Ce point est à la même distance des trois côtés, ce qui permet de tracer le cercle inscrit.
Une bissectrice donne un demi-angle de 31°. L’angle entier vaut :
Bonne réponse
L’angle entier est composé de deux angles égaux : .
Pour une base de 10 cm et une hauteur de 6 cm, l’aire vaut :
Bonne réponse30 cm²
L’aire du triangle est cm².
La médiatrice d’un côté passe nécessairement par :
Bonne réponseLe milieu de ce côté
La médiatrice est perpendiculaire au segment en son milieu ; elle ne passe pas forcément par un sommet.
Dans un triangle rectangle, l’orthocentre est :
Bonne réponseAu sommet de l’angle droit
Les deux côtés de l’angle droit portent deux hauteurs qui se rencontrent à ce sommet.

, donc et cm.

Vérification : cm². La hauteur est une longueur, exprimée en cm.

Mathématiques 1AC · S2

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À la fin de ce chapitre, vous saurez

Un bon cours, ça se partage.

Qu’est-ce que la bissectrice d’un angle ?

Comment construire une bissectrice au compas ?

Qu’est-ce qu’une hauteur d’un triangle ?