Développement et factorisation 1AC : exercices corrigés

1. $5\times 4-7=13$.
2. $4^2+1=17$.
3. $3\times 6=18$.
4. $2\times 4\times 4=32$.

À retenir : On remplace la lettre par sa valeur et on respecte les priorités.

1. Une somme de deux termes, $5x$ et $2$.
2. Un produit de deux facteurs, $5$ et $(x+2)$.
3. Un produit de $x$ par $(x-1)$.
4. Une différence de deux termes.

À retenir : La dernière opération à effectuer donne la nature de l’expression.

1. $4(x+6)$.
2. $4x+24$.
3. $4(x+6)=4x+24$ : c’est la distributivité.

À retenir : Un rectangle découpé illustre la distributivité.

1. $6a+12-2a=4a+12$.
2. $4x-4+6x+10=10x+6$.
3. $x^2+3x+2x=x^2+5x$.

À retenir : On n’ajoute que les termes de même nature.

1. $-4a+8$.
2. $-x^2-x$.
3. $8-2x-6=2-2x$.

À retenir : Le signe placé devant le facteur fait partie du facteur.

1. $2x^2+7x$.
2. $8-2a$.
3. $3a$.
4. $a^3$.

À retenir : Une somme de lettres égales donne un multiple ; un produit donne une puissance.

1. $7(2x+3)$.
2. $5(2a-5)$.
3. $3x(2x+3)$ : on met à la fois $3$ et $x$ en facteur.

À retenir : Le facteur commun peut contenir un nombre et une lettre.

1. $47\times (3+7)=47\times 10=470$.
2. $8,5\times 10=85$.
3. $123\times (11-1)=1230$.

À retenir : Repérer le facteur répété transforme une somme de produits en un seul produit.

1. Le $2$ n’a pas été multiplié : $5(x+2)=5x+10$.
2. Le produit de $-3$ par $-4$ est positif : $-3x+12$.
3. $x=x\times 1$ : on obtient $x(x+1)$.
4. On additionne des termes en $x$ : $7x+2x=9x$.

À retenir : On contrôle une égalité en redéveloppant ou avec un test numérique.

1. $3\times 14-2\times 16=42-32=10$.
2. $3x+12-2x-12=x$.
3. $E$ est toujours égale au nombre choisi : le développement le prouve.

À retenir : On prouve une égalité générale par le calcul littéral, pas par des exemples.

1. $10$ m sur $x-2$ m.
2. $10(x-2)$, soit $10x-20$.
3. $10\times 5=50$ m², et aussi $70-20=50$ m².

À retenir : Les formes factorisée et développée décrivent la même aire de deux façons.

1. $7+8+9=24$ et $24÷3=8$.
2. $n+(n+1)+(n+2)=3n+3$.
3. $3n+3=3(n+1)$ : la somme est toujours le triple du nombre du milieu.

À retenir : Une forme factorisée révèle souvent une propriété cachée.

1. $2x+5$.
2. $3(x+4)$.
3. $a^2$.
4. $\frac{y}{2}-1$.

À retenir : Le mot somme ou différence placé après un produit impose une parenthèse.

1. $2x+6$.
2. $3x$.
3. $4(x-1)$.

À retenir : On contrôle en développant l’expression proposée.

1. $5y$.
2. $7a+3$.
3. $2x+2$.
4. $2$.

À retenir : Deux termes opposés s’annulent.

1. $x^2+5x$.
2. $6a^2-8a$.
3. $3y+21$.
4. $-2a+a^2$.

À retenir : Une lettre devant la parenthèse multiplie aussi chaque terme.

1. $10-x-4=6-x$.
2. $5x-2x+3=3x+3$.
3. $7-3a+3=10-3a$.

À retenir : Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes.

1. $6x-2-4x=2x-2$.
2. $2\times 17-24=34-24=10$.
3. $2\times 6-2=10$ : la forme réduite est plus rapide.

À retenir : La forme réduite simplifie les calculs pour chaque valeur.

1. Le plus grand facteur commun est $6$ : $6(3x+4)$.
2. C’est juste, mais $9x$ et $12$ ont encore le facteur $3$ : ce n’est pas terminé.
3. $5x(x-2)$.

À retenir : Une factorisation est terminée quand les termes de la parenthèse n’ont plus de facteur commun.

1. $5$, car $4\times 5=20$.
2. $3$, car $3\times 2a=6a$ et $3\times 3=9$.
3. $x$, car $x\times x=x^2$.
4. $x-5$, car $-2\times (-5)=10$.

À retenir : On retrouve le terme manquant en se demandant ce que le facteur doit multiplier.

1. A : $6\times 1+15=21$. B : $(1+2,5)\times 6=21$.
2. A : $6x+15$. B : $6(x+2,5)$.
3. Oui : $6(x+2,5)=6x+15$ en développant.

À retenir : Pour comparer deux programmes, on développe leurs expressions.

1. $5(x+3)+25=5x+15+25=5x+40$.
2. $5x+40=5(x+8)$.
3. Un seul rectangle de largeur $5$ cm et de longueur $x+8$ cm.
4. $5\times 10=50$ cm².

À retenir : Une forme factorisée se lit comme l’aire d’un seul rectangle.

1. $2x\times 20=40x$.
2. $35x+40x=75x$.
3. $75\times 2=150$ DH.

À retenir : On réduit une expression avant de l’utiliser plusieurs fois.

1. $3n$ cm sur $3$ cm.
2. $2(3n+3)=6n+6=6(n+1)$.
3. $6\times 11=66$ cm.
4. $6(n+1)=60$ donne $n+1=10$ : il faut $9$ carrés.

À retenir : La forme factorisée permet de remonter facilement au nombre cherché.