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Développement et factorisation

Développer une expression, c’est transformer un produit en somme ou en différence grâce à la distributivité. Factoriser, c’est effectuer le chemin inverse en faisant apparaître un facteur commun. En 1AC, comprendre ces deux gestes permet de simplifier des calculs, d’écrire une formule et de préparer la résolution des équations.

Conforme au programme officiel du Ministère de l'Éducation Nationale (2025-2026) · Mis à jour le

À la fin de ce chapitre, vous saurez

  • Appliquer la distributivité simple avec des nombres et des lettres
  • Réduire des termes de même nature
  • Repérer un facteur commun
  • Contrôler une transformation par un calcul numérique

PrérequisRespecter les priorités opératoires · Multiplier des nombres relatifs · Comprendre qu’une lettre peut représenter un nombre

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Une expression 6(x + 2) est reliée à 6x + 12 par deux flèches opposées, et un rectangle partagé en deux explique les deux écritures.
La distributivité relie le produit 6(x + 2) à la somme 6x + 12.
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Comprendre une expression littérale

Définition

Expression littérale : Une expression littérale est un calcul qui contient une ou plusieurs lettres représentant des nombres. Par convention, signifie et signifie .

Si un cahier coûte dirhams, quatre cahiers coûtent dirhams. Avec un stylo de DH en plus, le prix s’écrit . L’expression décrit un calcul ; elle ne devient pas une équation tant qu’on ne lui impose pas une égalité à vérifier.

Comment développer avec la distributivité ?

Propriété

Distributivité simple

Pour tous nombres , et , et . Le facteur placé devant la parenthèse multiplie chacun des termes qu’elle contient.

Distribuer sur chaque terme

Développer .

  1. multiplie et multiplie  : .
  2. On obtient . Le résultat garde la même valeur que le produit initial pour chaque valeur de .
Rectangle de hauteur 5 partagé en deux rectangles de largeurs x et 4 ; les aires sont 5x et 20.
La même aire s’écrit 5(x + 4) ou 5x + 20.
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L’aire d’un rectangle illustre cette égalité. Une hauteur de et une largeur découpée en puis donnent une aire totale . En calculant séparément les deux morceaux, on obtient . Les deux écritures décrivent la même surface.

Développer lorsque le facteur est négatif

Attention aux signes

Développer .

  1. Le premier produit est .
  2. Le second est .
  3. Donc .

Attention

Dans , le second terme entre parenthèses est . Son produit par est positif. Écrire reviendrait à oublier la règle des signes.

Réduire une expression après développement

Définition

Réduire : Réduire une somme, c’est regrouper les termes de même nature. Ainsi et , mais ne se réduit pas en .

Deux opérations successives

Développer et réduire .

  1. Développer donne .
  2. Regrouper les termes en et les nombres : .
  3. Le résultat réduit est .

Les termes en et en sont aussi de natures différentes. Par exemple, reste une somme de deux termes. Une réduction ne change pas les puissances des lettres ; elle additionne les coefficients de termes semblables.

Comment factoriser avec un facteur commun ?

Définition

Factoriser : Factoriser une somme ou une différence consiste à l’écrire sous forme d’un produit. On utilise la distributivité dans l’autre sens : et .

Méthode

Chercher ce qui multiplie chaque terme

  1. Repérer un nombre ou une lettre présent comme facteur dans tous les termes.
  2. Réécrire chaque terme pour montrer ce facteur.
  3. Placer le facteur devant une parenthèse et écrire à l’intérieur ce qu’il reste.
  4. Redévelopper mentalement pour vérifier que tous les termes reviennent.

Un facteur numérique

Factoriser .

  1. On écrit et .
  2. On met en facteur : .
Les termes 12x et 18 sont décomposés en 6 × 2x et 6 × 3 puis regroupés sous la forme 6(2x + 3).
Factoriser 12x + 18 donne 6(2x + 3) ; 6 multiplie les deux termes.
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Un facteur littéral

Factoriser .

  1. Les deux termes contiennent  : et .
  2. Donc .

Choisir l’écriture qui rend le calcul plus simple

Pour calculer , la forme factorisée est pratique : . Pour calculer , développer donne . Développer n’est donc pas toujours la meilleure fin d’un calcul : on choisit l’écriture adaptée à la question.

Vérifier sans remplacer une justification

Méthode

Contrôle numérique

  1. Choisir une valeur simple pour la lettre, par exemple .
  2. Calculer séparément l’expression de départ et celle obtenue.
  3. Si les résultats diffèrent, retrouver le terme ou le signe oublié.
  4. Si les résultats coïncident, conserver la justification par distributivité : un seul essai numérique ne prouve pas une égalité pour toutes les valeurs.

Ce chapitre se concentre sur la distributivité et le facteur commun. Il n’est pas nécessaire de mémoriser des identités remarquables pour réussir ces exercices. Commence par bien reconnaître si l’énoncé demande une somme développée ou un produit factorisé.

Questions fréquentes

Quelle différence entre développer et factoriser en 1AC ?

Développer transforme un produit en somme, comme 3(x + 2) = 3x + 6. Factoriser fait le chemin inverse : 3x + 6 = 3(x + 2).

Comment trouver un facteur commun ?

Cherche ce qui multiplie chacun des termes. Dans 8x + 12, le nombre 4 est commun car 8x = 4 × 2x et 12 = 4 × 3.

Comment développer avec un signe moins ?

Multiplie chaque terme de la parenthèse par le facteur négatif en appliquant la règle des signes. Par exemple, −2(x − 3) = −2x + 6.

Peut-on additionner x et x au carré ?

On ne peut pas les réduire en un seul terme car ce sont des termes de natures différentes. On peut toutefois mettre x en facteur : x + x² = x(1 + x).

Quiz : 12 questions sur ce chapitre

12 questions tirées au hasard parmi les 12 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.

Q1Développer, c’est obtenir :

Bonne réponse : Une somme ou une différence

La distributivité transforme un produit contenant une parenthèse en somme ou différence.

Q2 est égal à :

Bonne réponse :

Le facteur multiplie chacun des termes : .

Q3 se développe en :

Bonne réponse :

Le produit de par est positif, ce qui donne .

Q4Réduire donne :

Bonne réponse :

On soustrait les coefficients des termes de même nature : .

Q5Quelle expression est factorisée ?

Bonne réponse :

Une forme factorisée est un produit : ici multiplie la parenthèse entière.

Q6 peut se factoriser en :

Bonne réponse :

En distribuant , on retrouve et , les deux termes de départ.

Q7Peut-on réduire en  ?

Bonne réponse : Non

Un terme en et un nombre constant ne sont pas de même nature.

Q8Quel est le facteur commun à et  ?

Bonne réponse :

Les deux termes sont obtenus en multipliant respectivement et par .

Q9 signifie :

Bonne réponse :

L’exposant 2 indique le produit de la lettre par elle-même.

Q10 vaut :

Bonne réponse :

On factorise : .

Q11Pour contrôler une factorisation, on peut :

Bonne réponse : La redévelopper

Redévelopper doit faire réapparaître exactement tous les termes de l’expression initiale.

Q12Un essai pour x = 1 prouve-t-il une égalité pour tous les x ?

Bonne réponse : Non

Un exemple peut révéler une erreur, mais la justification générale repose ici sur la distributivité.

Exercices corrigés

10 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.

Exercice 1

Facile

Développer .

Correction

Distribuer le facteur aux deux termes : .

Le résultat est .

Exercice 2

Facile

Développer .

Correction

Multiplier puis par .

.

Exercice 3

Facile

Développer .

Correction

et .

L’expression développée est .

Exercice 4

Moyen

Simplifier .

Correction

Après développement : .

On regroupe : .

Exercice 5

Moyen

Factoriser avec le plus grand facteur entier positif commun.

Correction

Les coefficients et ont pour plus grand diviseur commun .

. En redéveloppant, on retrouve bien les deux termes.

Exercice 6

Moyen

Factoriser .

Correction

et .

Donc .

Exercice 7

Moyen

Calculer sans poser deux multiplications.

Correction

Mettre le facteur commun en évidence : .

Le calcul devient .

Exercice 8

Moyen

Amal écrit . Corriger et vérifier avec .

Correction

Il faut multiplier aussi par  : .

Pour , le départ vaut , comme  ; l’écriture erronée donne seulement .

Exercice 9

Difficile

Développer et réduire .

Correction

On obtient  : le facteur du second groupe est .

Les termes en donnent et les constantes . Résultat : .

Exercice 10

Difficile

Un jardin rectangulaire a une largeur de m et une longueur de m. Écrire son aire sous deux formes puis la calculer pour .

Correction

La forme produit est m² ; la forme développée est m².

Pour , l’aire vaut m². L’autre forme donne m².

Mathématiques 1AC · S2

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