Opérations sur les fractions 1AC : exercices corrigés

1. $\frac{3}{10}$ est bleue et $\frac{4}{10}$ est rouge.
2. $\frac{3}{10}+\frac{4}{10}=\frac{7}{10}$.
3. $1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}$.
4. $\frac{4}{10}-\frac{3}{10}=\frac{1}{10}$ de la bande.

À retenir : Sur une figure partagée en parts égales, ajouter des fractions revient à compter des parts.

1. $2\times \frac{3}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
2. $3\times \frac{2}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.
3. $\frac{1}{2}\times \frac{4}{5}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.
4. $\frac{1}{4}\times \frac{8}{3}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.

À retenir : Le double, c’est multiplier par $2$ ; la moitié, c’est multiplier par $\frac{1}{2}$.

1. $7-2=5$ : $\frac{2}{9}+\frac{5}{9}=\frac{7}{9}$.
2. $6+3=9$ : $\frac{9}{11}-\frac{3}{11}=\frac{6}{11}$.
3. $1=\frac{5}{5}$, donc il manque $\frac{2}{5}$.
4. $\frac{12}{12}-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$.

À retenir : Pour trouver un terme manquant, on calcule la différence entre le résultat et le terme connu.

1. $3=\frac{15}{5}$, donc $\frac{15}{5}+\frac{2}{5}=\frac{17}{5}$.
2. $1=\frac{4}{4}$, donc $\frac{7}{4}-\frac{4}{4}=\frac{3}{4}$.
3. Avec $6$ : $\frac{12}{6}+\frac{2}{6}-\frac{3}{6}=\frac{11}{6}$.
4. $5=\frac{15}{3}$, donc $\frac{15}{3}-\frac{7}{3}=\frac{8}{3}$.

À retenir : Un entier $n$ s’écrit avec n’importe quel dénominateur $d$ : $n=\frac{n\times d}{d}$.

1. L’inverse de $\frac{3}{7}$ est $\frac{7}{3}$, celui de $5$ est $\frac{1}{5}$, celui de $\frac{1}{4}$ est $4$.
2. $\frac{3}{7}\times \frac{7}{3}=\frac{21}{21}=1$.
3. $\frac{9}{10}\times \frac{5}{3}=\frac{45}{30}=\frac{3}{2}$. Vérification : $\frac{3}{2}\times \frac{3}{5}=\frac{9}{10}$.
4. $\frac{5}{2}÷\frac{1}{4}=\frac{5}{2}\times 4=10$ quarts d’heure.

À retenir : Le produit d’un nombre par son inverse vaut $1$ : c’est ce qui permet de vérifier un quotient.

1. Un cinquième vaut $90÷3=30$ DH, donc la somme vaut $30\times 5=150$ DH.
2. Un septième vaut $12÷2=6$ km, donc le trajet mesure $6\times 7=42$ km.
3. $8\times 4=32$ élèves.

À retenir : On calcule d’abord la valeur d’une part, en divisant par le numérateur, puis on multiplie par le dénominateur.

1. Avec $6$ : $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1$.
2. Avec $8$ : $\frac{6}{8}-\frac{1}{8}-\frac{4}{8}=\frac{1}{8}$.
3. Avec $12$ : $\frac{20}{12}-\frac{6}{12}+\frac{3}{12}=\frac{17}{12}$.

À retenir : Le dénominateur commun doit être un multiple de tous les dénominateurs à la fois.

1. $\frac{2}{3}\times \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$.
2. $\left(1-\frac{1}{5}\right)÷\frac{2}{5}=\frac{4}{5}\times \frac{5}{2}=2$.
3. $\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{7}{12}$.

À retenir : Le premier mot de la phrase désigne l’opération effectuée en dernier ; ce qui suit se met entre parenthèses si nécessaire.

1. On a additionné les dénominateurs. Correction : $\frac{10}{15}+\frac{12}{15}=\frac{22}{15}$.
2. On a oublié de multiplier les dénominateurs. Correction : $\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}=\frac{9}{16}$.
3. On a multiplié au lieu de diviser. Correction : $\frac{1}{2}\times 4=2$.
4. On a soustrait les dénominateurs. Correction : $\frac{5}{6}-\frac{3}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

À retenir : Chaque opération a sa règle : dénominateur commun pour une somme, produit direct, inverse pour un quotient.

1. $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.
2. Lait : $\frac{3}{4}\times \frac{3}{2}=\frac{9}{8}$ L. Farine : $\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}=1$ kg.
3. On prend la moitié : $\frac{3}{8}$ L de lait et $\frac{1}{3}$ kg de farine.

À retenir : Pour adapter une recette, on multiplie chaque quantité par le même nombre, ici une fraction.

1. $\frac{1}{4}\times 400=100$ L.
2. Après lundi, il reste $300$ L. Mardi, on utilise $\frac{1}{3}\times 300=100$ L : il reste $200$ L.
3. $\frac{200}{400}=\frac{1}{2}$.
4. Il reste $\frac{3}{4}$ après lundi, puis les $\frac{2}{3}$ de ce reste : $\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{2}$.

À retenir : « Le tiers de ce qui reste » est une fraction d’une fraction : on multiplie.

1. $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}=\frac{6}{15}+\frac{5}{15}=\frac{11}{15}$.
2. $1-\frac{11}{15}=\frac{4}{15}$.
3. $\frac{4}{15}$ valent $240$ m², donc $\frac{1}{15}$ vaut $60$ m² et le terrain mesure $60\times 15=900$ m².
4. $\frac{2}{5}\times 900=360$ m².

À retenir : Quand le reste est connu, on retrouve le tout à partir de la fraction qu’il représente.

1. Deux demis font une unité : $1$.
2. $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
3. $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.
4. Quatre quarts font une unité : $1$.
5. $\frac{3}{3}=1$.

À retenir : Les fractions usuelles se manipulent de tête : deux demis, quatre quarts, trois tiers font une unité.

1. $1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$ du gâteau.
2. $1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}$ du livre.
3. $1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}$ du trajet.
4. Ils ont mangé $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ ; il reste $\frac{1}{2}$ de la pizza.

À retenir : Le tout vaut $1$ : on écrit $1$ avec le dénominateur de la fraction utilisée.

1. $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$, donc on arrive en $\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}$.
2. $\frac{1}{2}=\frac{4}{8}$, donc on arrive en $\frac{7}{8}-\frac{4}{8}=\frac{3}{8}$.
3. $1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$, soit $7$ intervalles.

À retenir : Sur une droite graduée en huitièmes, on écrit chaque déplacement en huitièmes avant de compter.

1. $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$.
2. $\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$.
3. $\frac{5}{6}+\frac{7}{12}=\frac{10}{12}+\frac{7}{12}=\frac{17}{12}$.

À retenir : À chaque étage, on choisit un dénominateur commun aux deux fractions additionnées.

1. $\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ m².
2. $2\times \left(\frac{3}{4}+\frac{2}{3}\right)=2\times \frac{17}{12}=\frac{17}{6}$ m.
3. Non : $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ m², la moitié de l’aire du rectangle.

À retenir : Une aire est un produit ; un périmètre est une somme : on n’emploie pas la même opération.

1. $3÷\frac{1}{4}=3\times 4=12$ morceaux.
2. $\frac{3}{4}÷3=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ de la tarte.
3. $\frac{2}{3}÷4=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$ du champ.

À retenir : Partager en $n$ parts égales, c’est diviser par $n$, ou multiplier par $\frac{1}{n}$.

1. Elle a additionné avant de multiplier, comme s’il y avait des parenthèses autour de la somme.
2. $A=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$, car $\frac{1}{3}\times 3=1$.
3. $\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)\times 3=\frac{2}{3}\times 3=2$.

À retenir : Sans parenthèses, le produit passe avant la somme, avec des fractions comme avec des entiers.

1. $\frac{7}{8}-\frac{3}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ du réservoir.
2. La moitié vaut $25$ L, donc le réservoir contient $50$ L.
3. $\frac{3}{8}\times 50=18,75$ L.
4. Il manque $\frac{1}{8}$, soit $\frac{1}{8}\times 50=6,25$ L.

À retenir : Une différence de fractions d’un même tout correspond à une différence de quantités.

1. On divise : $\frac{1}{2}÷\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}=\frac{2}{3}$.
2. On soustrait : $\frac{9}{10}-\frac{4}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.
3. On multiplie : $\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

À retenir : Pour retrouver un nombre, on effectue l’opération inverse : la soustraction défait l’addition, la division défait la multiplication.

1. $\frac{3}{5}\times \frac{5}{2}=\frac{3}{2}$ m.
2. $\frac{9}{10}÷\frac{3}{5}=\frac{9}{10}\times \frac{5}{3}=\frac{3}{2}$ h.
3. $\frac{3}{2}$ h $=1$ h $+\frac{1}{2}$ h, soit $1$ h $30$ min.

À retenir : Distance, durée et vitesse se relient par une multiplication ou par une division, même avec des fractions.

1. On paie les $\frac{3}{4}$ du prix : $\frac{3}{4}\times 1200=900$ DH.
2. Après la première remise : $\frac{4}{5}\times 1200=960$ DH. Après la seconde : $\frac{9}{10}\times 960=864$ DH.
3. B est moins cher. On y paie $\frac{4}{5}\times \frac{9}{10}=\frac{36}{50}=\frac{18}{25}$ du prix initial.

À retenir : Deux réductions successives ne s’additionnent pas : on multiplie les fractions du prix payé.

1. Chaque numérateur se simplifie avec le dénominateur précédent : il reste $\frac{1}{5}$.
2. $\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{4}$.
3. Il vaut $\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \cdots \times \frac{9}{10}$ : toutes les simplifications laissent $\frac{1}{10}$.

À retenir : Repérer les facteurs qui se simplifient évite de calculer de grands produits.