Quadrilatères particuliers 1AC : exercices corrigés

1. Un carré : c’est un losange qui a un angle droit.
2. Un rectangle qui n’est pas un carré.
3. Un losange qui n’est pas un carré.
4. Un parallélogramme, ni rectangle ni losange.

À retenir : On cherche la famille la plus précise qui convient.

1. Elles sont égales, perpendiculaires et se coupent en leur milieu $O$.
2. Rectangle en $O$ et isocèle, car $OA=OB$.
3. $4\times 7=28$ cm et $7\times 7=49$ cm².

À retenir : Le carré a toutes les propriétés du rectangle et du losange.

1. $12\times 12=144$ cm².
2. $200\times 50=10000$ cm².
3. $4\times 25=100$ cm.

À retenir : On convertit les longueurs avant de les multiplier ou de les additionner.

1. $OA=OB$, car les diagonales sont égales et de même milieu.
2. $\widehat{OBA}=32^{\circ }$ et $\widehat{AOB}=180^{\circ }-64^{\circ }=116^{\circ }$.
3. $A$, $O$ et $C$ sont alignés : $180^{\circ }-116^{\circ }=64^{\circ }$.

À retenir : Les diagonales d’un rectangle créent quatre triangles isocèles.

1. $AOB$ est rectangle en $O$ : $90^{\circ }-25^{\circ }=65^{\circ }$.
2. La diagonale $(BD)$ est un axe du losange, elle partage l’angle en deux : $2\times 25^{\circ }=50^{\circ }$.
3. $2\times 65^{\circ }=130^{\circ }$.

À retenir : Les diagonales d’un losange sont ses axes : elles partagent ses angles en deux.

1. $OA=OB=10÷2=5$ cm.
2. $5+5+8=18$ cm.
3. $5+5+6=16$ cm.

À retenir : Le centre du rectangle est à la même distance des quatre sommets.

1. Oui : c’est la médiatrice de $[AB]$ et de $[DC]$.
2. Non : elle n’est pas la médiatrice de $[BD]$, car les diagonales ne sont pas perpendiculaires.
3. Oui, le point de rencontre de ses diagonales.

À retenir : Une droite est un axe si elle est la médiatrice des segments qui joignent les points correspondants.

1. On trace $[AB]$ de $5$ cm, puis les perpendiculaires en $A$ et en $B$. On y place $D$ et $C$ à $3$ cm, du même côté.
2. On mesure $AC$ et $BD$ : elles doivent être égales, environ $5,8$ cm.
3. $5\times 3=15$ cm².

À retenir : Les diagonales égales servent de contrôle à la construction d’un rectangle.

1. Chacun est rectangle, avec des côtés de l’angle droit de $4$ cm et $3$ cm.
2. Ses quatre côtés sont égaux : c’est un losange.
3. $48-4\times (4\times 3÷2)=48-24=24$ cm².

À retenir : Retirer des triangles connus permet de calculer une aire inconnue.

1. Ses diagonales ont le même milieu $O$.
2. Non : ses diagonales mesurent $6$ cm et $10$ cm.
3. Que les diamètres $[AC]$ et $[BD]$ soient perpendiculaires.

À retenir : On examine les diagonales : même milieu, même longueur, perpendicularité.

1. Rectangle isocèle, de sommet principal le centre.
2. $90^{\circ }$, $45^{\circ }$ et $45^{\circ }$.
3. $100÷4=25$ cm².

À retenir : Les diagonales d’un carré le partagent en quatre triangles identiques.

1. $1,6+0,2=1,8$ m sur $0,9+0,2=1,1$ m.
2. $1,8\times 1,1=1,98$ m².
3. $2\times (1,8+1,1)=5,8$ m.

À retenir : Un dépassement de chaque côté s’ajoute deux fois à chaque dimension.

1. Un losange non carré.
2. Un rectangle non carré.
3. Le carré, qui réunit les deux propriétés.
4. Le carré : ses deux diagonales et ses deux médiatrices de côtés.

À retenir : Chaque propriété élimine certaines familles.

1. $4\times 4,5=18$ cm.
2. $26÷4=6,5$ cm.
3. $5\times 3=15$ cm².

À retenir : Les quatre côtés d’un losange sont égaux.

1. $24÷6=4$ cm.
2. $22÷2-7=4$ cm.
3. $9$ cm, car $9\times 9=81$.

À retenir : On remonte de l’aire ou du périmètre jusqu’à la dimension.

1. Un rectangle : ses angles consécutifs à $\hat{A}$ mesurent aussi $90^{\circ }$.
2. Un losange : ses côtés opposés étant égaux, les quatre côtés le sont.
3. Un carré : c’est un losange qui a un angle droit.

À retenir : On cite la propriété qui fait passer d’une famille à une autre.

1. Non : $4\times 5=20$ cm dans toutes les positions.
2. C’est un carré : $5\times 5=25$ cm².
3. $5\times 3=15$ cm².

À retenir : Déformer un losange change son aire, pas son périmètre.

1. Chacun est à la même distance de $B$ et de $D$.
2. La médiatrice de $[BD]$, donc un axe de symétrie de $ABCD$.
3. Non : ses côtés ne sont pas tous égaux, $4$ cm et $6$ cm.

À retenir : Deux points équidistants des extrémités d’un segment sont sur sa médiatrice.

1. On trace l’angle de $60^{\circ }$ en $A$, on place $B$ et $D$ à $4$ cm de $A$, puis $C$ à $4$ cm de $B$ et de $D$ au compas.
2. Isocèle en $A$ avec un angle de $60^{\circ }$ : équilatéral, donc $BD=4$ cm.
3. $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$, angles consécutifs.

À retenir : Un losange est un parallélogramme : ses angles consécutifs sont supplémentaires.

1. $2\times (21+29,7)=101,4$ cm.
2. $21\times 29,7=623,7$ cm².
3. $21$ cm sur $14,85$ cm, et $623,7÷2=311,85$ cm².

À retenir : Un pliage selon un axe de symétrie partage l’aire en deux.

1. Un carré de $21$ cm de côté.
2. Un rectangle de $21$ cm sur $9$ cm, d’aire $189$ cm².
3. $45^{\circ }$ : le pli est une diagonale du carré.

À retenir : La diagonale d’un carré partage ses angles droits en deux.

1. $4,8÷0,4=12$ et $3,6÷0,4=9$.
2. $12\times 9=108$ carreaux.
3. $4,8\times 3,6=17,28$ m² et $17,28÷0,16=108$.

À retenir : On compte les carreaux par rangée, puis les rangées.

1. $30\times 30-24\times 24=900-576=324$ cm².
2. $4\times 30=120$ cm et $4\times 24=96$ cm.
3. $(30-24)÷2=3$ cm.

À retenir : L’aire d’une bordure est la différence de deux aires.

1. $20÷4=5$ cm, puis $5\times 4,8=24$ cm².
2. Si $d$ est l’autre diagonale, chaque triangle a pour côtés de l’angle droit $3$ cm et $\frac{d}{2}$. Les quatre triangles ensemble ont pour aire $\frac{6\times d}{2}$.
3. $\frac{6\times d}{2}=24$, donc $6\times d=48$ et $d=8$ cm.

À retenir : Une même aire calculée de deux façons donne une équation.