Quadrilatères particuliers
Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers. Le rectangle possède quatre angles droits ; le losange possède quatre côtés égaux ; le carré réunit ces deux caractéristiques. En maths 1AC, les propriétés des côtés, des angles et des diagonales permettent de reconnaître ces figures et de justifier leur nature.
À la fin de ce chapitre, vous saurez
- Distinguer définition et propriété d’un quadrilatère
- Reconnaître rectangle, losange et carré
- Utiliser des critères faisant intervenir les diagonales
- Identifier les centres et les axes de symétrie
- Calculer périmètres et aires
PrérequisConnaître les propriétés du parallélogramme · Reconnaître un angle droit · Construire une perpendiculaire et un milieu
Un bon cours, ça se partage.
Trois familles de quadrilatères particuliers
Définition
Rectangle, losange, carré : Un rectangle est un quadrilatère à quatre angles droits. Un losange est un quadrilatère à quatre côtés de même longueur. Un carré possède quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
Ces figures appartiennent à la famille des parallélogrammes : elles en possèdent donc toutes les propriétés. Un carré est à la fois un rectangle et un losange. En revanche, un rectangle peut avoir deux longueurs de côtés différentes et un losange peut avoir des angles non droits.
Rectangle : ce que montrent ses diagonales
Propriété
Diagonales du rectangle
Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu et ont la même longueur. Réciproquement, un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur est un rectangle.
Une mesure déduite
est un rectangle de centre et cm.
- L’autre diagonale vaut cm.
- Comme est le milieu des diagonales, cm.
L’hypothèse « parallélogramme » est indispensable dans la réciproque. Deux diagonales de même longueur, sans autre information, ne suffisent pas pour prouver qu’un quadrilatère quelconque est un rectangle. Il faut établir leur milieu commun ou un autre critère de parallélogramme.
Losange : côtés égaux et diagonales perpendiculaires
Propriété
Diagonales du losange
Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Réciproquement, un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.
Les diagonales d’un losange ne sont pas nécessairement de même longueur. Elles sont aussi des axes de symétrie du losange. Leur intersection est le centre de symétrie, comme dans tout parallélogramme.
Choisir le bon argument
On sait que est un parallélogramme et que .
- Les diagonales sont perpendiculaires et la nature de parallélogramme est donnée.
- On peut conclure que est un losange. On ne peut pas encore conclure qu’il est carré.
Carré : réunir les deux propriétés
Propriété
Reconnaître un carré
Un rectangle ayant deux côtés consécutifs égaux est un carré. Un losange ayant un angle droit est aussi un carré. Un parallélogramme dont les diagonales sont à la fois égales et perpendiculaires est un carré.
Pour une preuve en deux étapes, on peut établir d’abord « rectangle » grâce à l’égalité des diagonales, puis « losange » grâce à leur perpendicularité. La figure possède alors les quatre angles droits et les quatre côtés égaux nécessaires au carré.
Comparer les propriétés sans les mélanger
| Figure | Diagonales de même milieu | Diagonales égales | Diagonales perpendiculaires |
|---|---|---|---|
| Parallélogramme | Oui | Pas toujours | Pas toujours |
| Rectangle | Oui | Oui | Pas toujours |
| Losange | Oui | Pas toujours | Oui |
| Carré | Oui | Oui | Oui |
Attention
Le tableau donne des propriétés générales. « Pas toujours » ne signifie pas « jamais » : les diagonales d’un rectangle carré sont perpendiculaires. Une figure peut appartenir à plusieurs familles en même temps.
Centres et axes de symétrie
Un rectangle non carré possède deux axes de symétrie : les droites passant par les milieux des côtés opposés. Un losange non carré possède deux axes : ses diagonales. Le carré possède quatre axes : ses deux diagonales et ses deux droites passant par les milieux des côtés opposés. Dans les trois cas, l’intersection des diagonales est centre de symétrie.
Méthode
Tester un axe proposé
- Repérer deux points supposés se correspondre par réflexion.
- Vérifier que la droite proposée est la médiatrice de leur segment.
- Contrôler les autres sommets et les côtés.
- Ne pas confondre une droite de symétrie avec le centre, qui est un point.
Calculer sans confondre périmètre et aire
| Figure | Périmètre | Aire |
|---|---|---|
| Rectangle de longueur L et largeur l | ||
| Carré de côté c | ||
| Losange de côté c, base b et hauteur h |
Un carré sur papier quadrillé
Un carré a un côté de cm.
- Son périmètre vaut cm.
- Son aire vaut cm². Le contour et la surface ne se mesurent pas dans les mêmes unités.
Questions fréquentes
Quelle différence entre un losange et un carré ?
Comment reconnaître un rectangle avec les diagonales ?
Comment prouver qu’un quadrilatère est un carré ?
Les diagonales d’un rectangle sont-elles des axes de symétrie ?
Quiz : 12 questions sur ce chapitre
12 questions tirées au hasard parmi les 12 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.
Q1Un carré est :
Réponse incorrecte
Il possède à la fois quatre angles droits et quatre côtés égaux.
Bonne réponse : Un rectangle et un losange
Il possède à la fois quatre angles droits et quatre côtés égaux.
Q2Les diagonales d’un rectangle sont :
Réponse incorrecte
L’égalité des diagonales est une propriété générale du rectangle, contrairement à la perpendicularité.
Bonne réponse : De même longueur
L’égalité des diagonales est une propriété générale du rectangle, contrairement à la perpendicularité.
Q3Les diagonales d’un losange sont :
Réponse incorrecte
Elles se coupent en leur milieu et forment un angle droit.
Bonne réponse : Perpendiculaires
Elles se coupent en leur milieu et forment un angle droit.
Q4Un parallélogramme à diagonales égales est :
Réponse incorrecte
Le critère est valable parce que la nature de parallélogramme est déjà connue.
Bonne réponse : Un rectangle
Le critère est valable parce que la nature de parallélogramme est déjà connue.
Q5Un losange avec un angle droit est :
Réponse incorrecte
Dans un losange parallélogramme, un angle droit entraîne quatre angles droits : on obtient un carré.
Bonne réponse : Un carré
Dans un losange parallélogramme, un angle droit entraîne quatre angles droits : on obtient un carré.
Q6Un carré possède combien d’axes de symétrie ?
Réponse incorrecte
Les deux diagonales et les deux droites des milieux des côtés opposés sont ses quatre axes.
Bonne réponse : Quatre
Les deux diagonales et les deux droites des milieux des côtés opposés sont ses quatre axes.
Q7Un rectangle non carré possède :
Réponse incorrecte
Il possède deux axes de symétrie et son centre est l’intersection des diagonales.
Bonne réponse : Deux axes de symétrie
Il possède deux axes de symétrie et son centre est l’intersection des diagonales.
Q8Le périmètre d’un carré de côté 6 cm vaut :
Réponse incorrecte
Le périmètre additionne les quatre côtés : cm.
Bonne réponse : 24 cm
Le périmètre additionne les quatre côtés : cm.
Q9L’aire d’un carré de côté 6 cm vaut :
Réponse incorrecte
L’aire du carré est le produit du côté par lui-même : cm².
Bonne réponse : 36 cm²
L’aire du carré est le produit du côté par lui-même : cm².
Q10Des diagonales égales suffisent-elles pour un rectangle quelconque ?
Réponse incorrecte
Sans une autre condition, notamment la nature de parallélogramme, ce critère est incomplet.
Bonne réponse : Non
Sans une autre condition, notamment la nature de parallélogramme, ce critère est incomplet.
Q11Le centre de symétrie d’un losange est :
Réponse incorrecte
Comme dans tout parallélogramme, les diagonales du losange ont ce centre pour milieu commun.
Bonne réponse : L’intersection de ses diagonales
Comme dans tout parallélogramme, les diagonales du losange ont ce centre pour milieu commun.
Q12Dans un rectangle non carré, les quatre côtés sont-ils égaux ?
Réponse incorrecte
Un rectangle non carré a deux longueurs de côtés distinctes, avec égalité des côtés opposés.
Bonne réponse : Non, seuls les côtés opposés le sont
Un rectangle non carré a deux longueurs de côtés distinctes, avec égalité des côtés opposés.
Votre note
0/12
Le chapitre est à revoir en entier
Ne recommencez pas le quiz tout de suite : relisez d'abord tout le cours, en refaisant sur votre cahier chaque exemple guidé au lieu de le lire. Enchaînez avec les exercices « facile », correction masquée, puis revenez ici. C'est en une seule séance de travail que la note change.
À revoir : 12 questions manquées
Un carré est :
Bonne réponseUn rectangle et un losange
Il possède à la fois quatre angles droits et quatre côtés égaux.
Les diagonales d’un rectangle sont :
Bonne réponseDe même longueur
L’égalité des diagonales est une propriété générale du rectangle, contrairement à la perpendicularité.
Les diagonales d’un losange sont :
Bonne réponsePerpendiculaires
Elles se coupent en leur milieu et forment un angle droit.
Un parallélogramme à diagonales égales est :
Bonne réponseUn rectangle
Le critère est valable parce que la nature de parallélogramme est déjà connue.
Un losange avec un angle droit est :
Bonne réponseUn carré
Dans un losange parallélogramme, un angle droit entraîne quatre angles droits : on obtient un carré.
Un carré possède combien d’axes de symétrie ?
Bonne réponseQuatre
Les deux diagonales et les deux droites des milieux des côtés opposés sont ses quatre axes.
Un rectangle non carré possède :
Bonne réponseDeux axes de symétrie
Il possède deux axes de symétrie et son centre est l’intersection des diagonales.
Le périmètre d’un carré de côté 6 cm vaut :
Bonne réponse24 cm
Le périmètre additionne les quatre côtés : cm.
L’aire d’un carré de côté 6 cm vaut :
Bonne réponse36 cm²
L’aire du carré est le produit du côté par lui-même : cm².
Des diagonales égales suffisent-elles pour un rectangle quelconque ?
Bonne réponseNon
Sans une autre condition, notamment la nature de parallélogramme, ce critère est incomplet.
Le centre de symétrie d’un losange est :
Bonne réponseL’intersection de ses diagonales
Comme dans tout parallélogramme, les diagonales du losange ont ce centre pour milieu commun.
Dans un rectangle non carré, les quatre côtés sont-ils égaux ?
Bonne réponseNon, seuls les côtés opposés le sont
Un rectangle non carré a deux longueurs de côtés distinctes, avec égalité des côtés opposés.
Exercices corrigés
10 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.
Exercice 1
FacileUn quadrilatère possède quatre angles droits. Quelle est sa nature certaine ?
Correction
La présence des quatre angles droits est la définition d’un rectangle.
La figure est donc un rectangle, éventuellement carré si ses côtés sont tous égaux.
Exercice 2
FacileDans le rectangle , cm. Donner .
Correction
Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur.
cm.
Exercice 3
FacileUn losange a un côté de cm. Calculer son périmètre.
Correction
Les quatre côtés du losange sont égaux.
cm.
Exercice 4
MoyenUn parallélogramme possède deux diagonales de cm. Quelle nature plus précise peut-on donner ?
Correction
Ses diagonales sont de même longueur et il est déjà établi que c’est un parallélogramme.
Le critère des diagonales permet de conclure qu’il s’agit d’un rectangle.
Exercice 5
Moyenest un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. Conclure.
Correction
On utilise la réciproque de la propriété des diagonales du losange.
est un losange. L’égalité des diagonales ou un angle droit serait une information supplémentaire pour obtenir un carré.
Exercice 6
MoyenUn rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur. Justifier qu’il est carré.
Correction
Dans un rectangle, les côtés opposés sont égaux. L’égalité des deux côtés consécutifs entraîne donc celle des quatre côtés.
La figure possède déjà quatre angles droits : c’est un carré.
Exercice 7
MoyenUn rectangle mesure cm sur cm. Calculer aire et périmètre.
Correction
L’aire vaut cm².
Le périmètre vaut cm. Les deux résultats n’ont pas la même unité.
Exercice 8
MoyenCombien d’axes de symétrie possède un rectangle non carré ? Ses diagonales en font-elles partie ?
Correction
Il possède deux axes passant par les milieux des côtés opposés.
Ses diagonales ne sont pas des axes de symétrie lorsqu’il n’est pas carré.
Exercice 9
DifficileLes diagonales d’un quadrilatère non croisé se coupent en leur milieu, sont égales et perpendiculaires. Justifier sa nature.
Correction
Le milieu commun prouve d’abord que le quadrilatère est un parallélogramme.
L’égalité des diagonales en fait un rectangle, et leur perpendicularité en fait un losange. C’est donc un carré.
Exercice 10
Difficile« Tous les losanges sont des carrés puisque leurs côtés sont égaux. » Expliquer et donner la condition manquante.
Correction
Quatre côtés égaux caractérisent un losange mais ne garantissent pas les angles droits.
Il faut en plus un angle droit, qui entraîne les quatre angles droits dans ce parallélogramme. Un losange avec un angle de n’est pas carré.
Mathématiques 1AC · S2
Ton cours à emporter
Le cours illustré, les exercices corrigés et le quiz expliqué réunis en PDF.
Télécharger le cours PDFGratuit · À lire ou à imprimer