Triangles 1AC : exercices corrigés

1. Vrai : il a même trois côtés égaux, donc au moins deux.
2. Vrai : c’est le triangle rectangle isocèle, d’angles $90^{\circ }$, $45^{\circ }$ et $45^{\circ }$.
3. Faux : seuls deux côtés sont égaux en général.
4. Vrai : sinon le triangle serait aplati.

À retenir : Un triangle particulier peut appartenir à plusieurs familles à la fois.

1. Ses trois angles sont égaux : $180^{\circ }÷3=60^{\circ }$.
2. $3\times 4,5=13,5$ cm.
3. $21÷3=7$ cm.
4. Il est équilatéral.

À retenir : Un triangle équilatéral a trois côtés égaux et trois angles de $60^{\circ }$.

1. Impossible : la somme vaut $190^{\circ }$.
2. Impossible : la somme vaut $185^{\circ }$.
3. Possible : $35^{\circ }+55^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$. C’est un triangle rectangle.

À retenir : Additionner les trois angles annoncés permet de détecter une erreur de mesure.

1. Au sommet principal : $65^{\circ }$ et $65^{\circ }$. À la base : $50^{\circ }$ et $80^{\circ }$.
2. Au sommet principal : $55^{\circ }$ et $55^{\circ }$. À la base : $70^{\circ }$ et $40^{\circ }$.
3. Il ne peut être qu’au sommet principal : $30^{\circ }$ et $30^{\circ }$.

À retenir : Sans précision, l’angle connu peut être au sommet principal ou à la base : on étudie les deux cas.

1. On trace $[ST]$ de $6$ cm, puis deux arcs de rayon $5$ cm centrés en $S$ et en $T$ : $R$ est leur intersection.
2. On trouve environ $53^{\circ }$ pour chacun : les angles à la base sont égaux.
3. $180^{\circ }-2\times 53^{\circ }=74^{\circ }$ environ.

À retenir : Pour un triangle isocèle, on reporte deux fois la même longueur à partir des extrémités de la base.

1. Les deux angles aigus sont complémentaires : $90^{\circ }$.
2. Trois parts égales font $90^{\circ }$ : $\hat{B}=30^{\circ }$ et $\hat{A}=60^{\circ }$.
3. On trace $[AC]$ de $4$ cm, l’angle droit en $C$, puis en $A$ une demi-droite faisant $60^{\circ }$ avec $[AC)$ ; elle coupe la perpendiculaire en $B$.

À retenir : Une relation entre deux angles se traduit en parts égales d’une somme connue.

1. Non : les deux angles font déjà $190^{\circ }$.
2. Oui : $\hat{C}=120^{\circ }$, et le triangle est isocèle en $C$.
3. Oui : $\hat{C}=60^{\circ }$, c’est un triangle équilatéral de côté $4$ cm.

À retenir : On calcule le troisième angle avant de tracer : il dit si le triangle existe et révèle sa nature.

1. $180^{\circ }-50^{\circ }-60^{\circ }=70^{\circ }$.
2. $\widehat{ADB}$ et $\widehat{ADC}$ sont supplémentaires : $180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$.
3. Dans $ADC$ : $180^{\circ }-110^{\circ }-30^{\circ }=40^{\circ }$.

À retenir : On passe d’un triangle à l’autre grâce aux angles supplémentaires formés sur le côté commun.

1. Ils sont égaux et complémentaires : $45^{\circ }$ chacun.
2. Dans le triangle $ABH$, rectangle en $H$ : $\widehat{BAH}=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$.
3. Il a un angle droit en $H$ et deux angles de $45^{\circ }$ : il est rectangle isocèle en $H$.

À retenir : Une hauteur partage un triangle en deux triangles rectangles, dans lesquels on applique la somme des angles.

1. $2+3+4=9$ parts pour $180^{\circ }$, soit $20^{\circ }$ par part : $40^{\circ }$, $60^{\circ }$ et $80^{\circ }$. Le triangle est quelconque.
2. $4$ parts de $45^{\circ }$ : $45^{\circ }$, $45^{\circ }$ et $90^{\circ }$. Il est rectangle isocèle.
3. $6$ parts de $30^{\circ }$ : $30^{\circ }$, $60^{\circ }$ et $90^{\circ }$. Il est rectangle.

À retenir : On partage $180^{\circ }$ en autant de parts que la somme des nombres donnés.

1. $180^{\circ }-50^{\circ }-65^{\circ }=65^{\circ }$.
2. $\widehat{ACB}$ et $\widehat{ACD}$ sont supplémentaires : $180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$.
3. $50^{\circ }+65^{\circ }=115^{\circ }$ : ils sont égaux.
4. Oui : $\widehat{ACD}=180^{\circ }-\hat{C}$, et $\hat{A}+\hat{B}=180^{\circ }-\hat{C}$ aussi.

À retenir : Un angle extérieur d’un triangle est égal à la somme des deux angles qui ne lui sont pas adjacents.

1. Le triangle est isocèle en $A$ : $(180^{\circ }-60^{\circ })÷2=60^{\circ }$ chacun.
2. Trois angles de $60^{\circ }$ : il est équilatéral, donc $BC=60$ m.
3. $3\times 60=180$ m.
4. Par un triangle équilatéral de $6$ cm de côté.

À retenir : Un triangle isocèle dont l’angle au sommet mesure $60^{\circ }$ est équilatéral.

1. Aucun côté égal : ni isocèle ni équilatéral.
2. Équilatéral, et donc aussi isocèle.
3. Isocèle : deux côtés de $2,5$ cm.
4. Isocèle, de base le côté de $9$ cm.

À retenir : On cherche des côtés de même longueur : deux pour un isocèle, trois pour un équilatéral.

1. Le troisième vaut $180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$.
2. $(180^{\circ }-80^{\circ })÷2=50^{\circ }$ chacun.
3. $180^{\circ }÷3=60^{\circ }$ chacun.
4. $90^{\circ }÷2=45^{\circ }$ chacun.

À retenir : Deux angles égaux se calculent en partageant en deux ce que laisse le troisième.

1. On trace un segment de $5$ cm, puis deux arcs de rayon $5$ cm centrés à ses extrémités : le troisième sommet est leur intersection.
2. $60^{\circ }$.
3. $3\times 5=15$ cm.

À retenir : Le compas, gardé à la même ouverture, construit un triangle équilatéral sans mesurer d’angle.

1. $OA$ et $OB$ sont deux rayons du cercle : $OA=OB$.
2. $(180^{\circ }-80^{\circ })÷2=50^{\circ }$ chacun.
3. Les trois angles mesurent $60^{\circ }$ : il est équilatéral, et $AB$ est égal au rayon.

À retenir : Deux rayons d’un même cercle forment toujours un triangle isocèle avec la corde qui les joint.

1. Le triangle formé est rectangle : $90^{\circ }-12^{\circ }=78^{\circ }$.
2. $90^{\circ }-8^{\circ }=82^{\circ }$.
3. $90^{\circ }-15^{\circ }=75^{\circ }$.

À retenir : Mur, sol et objet appuyé forment un triangle rectangle : ses deux angles aigus sont complémentaires.

1. $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$.
2. Deux angles égaux : il est isocèle en $A$, et son angle en $A$ est obtus.
3. On trouve $AB=AC$, environ $4$ cm.

À retenir : Deux angles égaux à la base donnent un triangle isocèle, même si l’angle au sommet est obtus.

1. $60^{\circ }$ pour chaque angle, car le triangle est équilatéral.
2. Oui : $58^{\circ }+61^{\circ }+61^{\circ }=180^{\circ }$.
3. Un tracé et une lecture au rapporteur ont toujours de petites imprécisions, de l’ordre du degré.

À retenir : Une mesure contrôle une figure, mais seule une propriété démontre le résultat exact.

1. $(180^{\circ }-40^{\circ })÷2=70^{\circ }$.
2. $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=70^{\circ }+60^{\circ }=130^{\circ }$.
3. $\widehat{BAD}=20^{\circ }$, puis dans $ABD$ : $\widehat{ADB}=180^{\circ }-130^{\circ }-20^{\circ }=30^{\circ }$.

À retenir : Quand deux triangles se touchent, leurs angles au sommet commun s’ajoutent.

1. $180^{\circ }$ pour chacun.
2. Les angles des deux triangles forment ensemble ceux du quadrilatère : $2\times 180^{\circ }=360^{\circ }$.
3. $360^{\circ }-80^{\circ }-95^{\circ }-110^{\circ }=75^{\circ }$.

À retenir : Découper une figure en triangles permet de calculer la somme de ses angles.

1. $1+1+2=4$ parts pour $180^{\circ }$ : $45^{\circ }$, $45^{\circ }$ et $90^{\circ }$. Le triangle est rectangle isocèle.
2. En demi-parts : $2+2+1=5$ parts de $36^{\circ }$. Angles : $72^{\circ }$, $72^{\circ }$ et $36^{\circ }$.
3. Les trois angles sont égaux : $60^{\circ }$ chacun, le triangle est équilatéral.

À retenir : On choisit une part commune qui exprime tous les angles par des nombres entiers.

1. $(16-6)÷2=5$ cm.
2. On trace la base de $6$ cm, puis deux arcs de rayon $5$ cm centrés à ses extrémités.
3. Les côtés égaux mesureraient $4$ cm, et $4+4=8$ : le triangle serait aplati. Il n’existe pas.

À retenir : Le périmètre fixe la longueur des côtés égaux ; l’inégalité triangulaire dit si le triangle existe.

1. C’est sa médiatrice : elle passe par $A$ et par le milieu de $[BC]$.
2. Ils se superposent au pliage : ils sont égaux.
3. $\hat{A}=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$. Le pli partage $\hat{A}$ en deux : $35^{\circ }$.

À retenir : Un triangle isocèle a un axe de symétrie : il échange les deux angles à la base.