Triangles particuliers 1AC : exercices corrigés

1. Un angle droit : triangle rectangle.
2. Un angle obtus ; il est aussi isocèle.
3. Trois angles aigus.
4. Un angle droit et deux angles égaux : rectangle isocèle.

À retenir : Un triangle a au plus un angle droit ou un angle obtus.

1. $AB=AC$ : les côtés opposés aux angles égaux sont égaux.
2. $\hat{S}=60^{\circ }$ aussi : les trois côtés sont égaux.
3. $\hat{Z}=45^{\circ }$, donc $XY=XZ$.

À retenir : Le côté opposé à un angle est celui qui ne passe pas par son sommet.

1. $OA=OB=4$ cm (rayons) et $AB=4$ cm : il est équilatéral.
2. Trois angles de $60^{\circ }$.
3. $360^{\circ }÷60^{\circ }=6$ triangles.

À retenir : Avec le compas gardé à la même ouverture, on construit des triangles équilatéraux.

1. Il faut $8-3<x<8+3$, soit $5<x<11$ : $6$, $7$, $8$, $9$ ou $10$ cm.
2. Oui, avec $x=8$ cm. La valeur $3$ cm est exclue, car elle n’est pas plus grande que $5$.
3. $3+8+10=21$ cm.

À retenir : On encadre d’abord le troisième côté, puis on choisit parmi les valeurs possibles.

1. On trace un angle de $120^{\circ }$ de sommet $M$ au rapporteur, puis on reporte $5$ cm sur chaque côté : on obtient $N$ et $P$.
2. Ils sont égaux : $(180^{\circ }-120^{\circ })÷2=30^{\circ }$.
3. On trouve environ $8,7$ cm.

À retenir : Deux côtés et l’angle qu’ils forment suffisent pour construire un triangle.

1. $90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$.
2. $AM=BM$, il est isocèle en $M$ avec un angle de $60^{\circ }$ en $B$ : il est équilatéral.
3. $AB=BM=\frac{BC}{2}$ : le côté opposé à l’angle de $30^{\circ }$ est la moitié de $BC$.

À retenir : Un triangle isocèle qui a un angle de $60^{\circ }$ est équilatéral.

1. $(180^{\circ }-40^{\circ })÷2=70^{\circ }$.
2. $(180^{\circ }-100^{\circ })÷2=40^{\circ }$.
3. $70^{\circ }+40^{\circ }=110^{\circ }$.

À retenir : Quand deux triangles partagent un sommet, leurs angles en ce sommet s’ajoutent.

1. $9>3+4=7$ : le triangle n’existe pas.
2. $100^{\circ }+85^{\circ }=185^{\circ }$ dépasse $180^{\circ }$.
3. Le triangle est équilatéral : l’angle mesure $60^{\circ }$. Sa mesure est imprécise.

À retenir : Avant de construire, on vérifie l’inégalité triangulaire ou la somme des angles.

1. Trois angles à la base, plus $30^{\circ }$, font $180^{\circ }$ : un angle à la base vaut $150^{\circ }÷3=50^{\circ }$. Angles : $50^{\circ }$, $50^{\circ }$ et $80^{\circ }$.
2. Trois angles à la base, moins $30^{\circ }$, font $180^{\circ }$ : un angle à la base vaut $210^{\circ }÷3=70^{\circ }$. Angles : $70^{\circ }$, $70^{\circ }$ et $40^{\circ }$.

À retenir : On exprime tous les angles à partir de l’angle à la base, puis on utilise la somme de $180^{\circ }$.

1. Les côtés égaux mesurent $7$ cm, et $10<7+7$ : il existe.
2. Les côtés égaux mesurent $6$ cm, et $6+6=12$ : il est aplati, il n’existe pas.
3. La base doit être paire et inférieure à $12$ : $2$, $4$, $6$, $8$ ou $10$ cm. Avec $8$ cm, les trois côtés valent $8$ cm.

À retenir : On combine le périmètre et l’inégalité triangulaire pour lister toutes les possibilités.

1. $AD=AB$ et $AB=AC$, donc $AC=AD$.
2. $\widehat{ACB}=35^{\circ }$ et $\widehat{BAC}=110^{\circ }$, donc $\widehat{CAD}=70^{\circ }$. Dans $ACD$ : $\widehat{ACD}=55^{\circ }$. Ainsi $\widehat{BCD}=35^{\circ }+55^{\circ }=90^{\circ }$.
3. $\widehat{BAC}=80^{\circ }$, $\widehat{CAD}=100^{\circ }$, $\widehat{ACD}=40^{\circ }$, et $\widehat{BCD}=50^{\circ }+40^{\circ }=90^{\circ }$ : le triangle $BCD$ est toujours rectangle en $C$.

À retenir : Refaire un calcul avec d’autres valeurs permet de repérer une propriété générale.

1. $180^{\circ }-2\times 30^{\circ }=120^{\circ }$.
2. On trace une base de $8$ cm, puis, à ses extrémités, deux angles de $30^{\circ }$ du même côté.
3. Environ $4,6$ m.

À retenir : Un dessin à l’échelle conserve les angles et multiplie toutes les longueurs par le même nombre.

1. Un triangle équilatéral.
2. Un triangle rectangle.
3. Un triangle isocèle.
4. Un triangle rectangle isocèle.

À retenir : Chaque triangle particulier se définit par ses côtés égaux ou par un angle droit.

1. $45^{\circ }$ chacun.
2. $180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$.
3. $90^{\circ }-18^{\circ }=72^{\circ }$.
4. $60^{\circ }$.

À retenir : Somme des angles, angles égaux et angles complémentaires suffisent à ces calculs.

1. $AB=BC$ et $\hat{B}=90^{\circ }$ : il est rectangle isocèle en $B$.
2. $45^{\circ }$ chacun.
3. $4\times 4=16$ cm.

À retenir : Une diagonale partage un carré en deux triangles rectangles isocèles.

1. $4,2+2,8=7$ : $AC$ est égal à la somme des deux autres, le triangle est aplati.
2. Sur le segment $[AC]$ : les trois points sont alignés.
3. Plus petite que $7$ cm : dans un vrai triangle, $AC<AB+BC$.

À retenir : Le cas d’égalité de l’inégalité triangulaire correspond à des points alignés.

1. On trace l’angle de $60^{\circ }$ au rapporteur, puis on reporte $5$ cm sur chaque côté à partir de $A$.
2. Isocèle avec un angle de $60^{\circ }$ au sommet : ses angles à la base valent $60^{\circ }$, il est équilatéral.
3. Il est rectangle isocèle en $A$.

À retenir : L’angle compris entre deux côtés égaux décide de la nature du triangle isocèle.

1. $MAB$ est isocèle en $M$ et $\hat{B}=45^{\circ }$, donc $\widehat{MAB}=45^{\circ }$.
2. $180^{\circ }-45^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }$.
3. Rectangle isocèle en $M$.

À retenir : Dans une figure découpée, chaque petit triangle se traite avec la somme de ses angles.

1. $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$.
2. $ACD$ est isocèle en $C$ : $(180^{\circ }-120^{\circ })÷2=30^{\circ }$ chacun.
3. $\widehat{BAD}=60^{\circ }+30^{\circ }=90^{\circ }$ : le triangle $BAD$ est rectangle en $A$.

À retenir : Prolonger un côté crée un angle supplémentaire et souvent un nouveau triangle isocèle.

1. $360^{\circ }÷6=60^{\circ }$.
2. $6\times 3=18$ cm.
3. Deux angles de triangles équilatéraux s’y rejoignent : $2\times 60^{\circ }=120^{\circ }$.

À retenir : Un hexagone régulier se décompose en six triangles équilatéraux.

1. $90^{\circ }$, car les deux angles aigus sont complémentaires.
2. Ce sont les moitiés de $\hat{B}$ et $\hat{C}$ : $90^{\circ }÷2=45^{\circ }$.
3. Dans $BIC$ : $180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$, quel que soit le triangle rectangle.

À retenir : On peut calculer un angle sans connaître chacun des angles du triangle, grâce à leur somme.

1. $180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$ et $180^{\circ }-130^{\circ }=50^{\circ }$.
2. $180^{\circ }-70^{\circ }-50^{\circ }=60^{\circ }$.
3. $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$ ; somme : $110^{\circ }+130^{\circ }+120^{\circ }=360^{\circ }$.

À retenir : Un angle extérieur est supplémentaire de l’angle intérieur voisin.

1. $AB=AC$ et $MB=MC$ : $(AM)$ est la médiatrice de $[BC]$, donc le triangle $ABM$ est rectangle en $M$.
2. $\hat{B}=60^{\circ }$ et $\hat{M}=90^{\circ }$, donc $\widehat{BAM}=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$.
3. $30÷2=15$ km.
4. Environ $5,2\times 5=26$ km.

À retenir : Le milieu d’un côté d’un triangle équilatéral, relié au sommet opposé, donne un triangle rectangle d’angles $30^{\circ }$ et $60^{\circ }$.

1. Non : $1,2+0,9=2,1$ et $2,5>2,1$.
2. $2,1$ km, lorsque les trois maisons sont alignées dans l’ordre $A$, $B$, $C$.
3. $AC=BC$ : il est isocèle en $C$.

À retenir : L’inégalité triangulaire borne la distance entre deux points dont on connaît les distances à un troisième.