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Triangles

Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles vaut . Cette règle permet de calculer un angle manquant et de reconnaître certains triangles particuliers. En maths 1AC, tu apprends aussi à construire un triangle à partir de données précises et à justifier ta réponse avec une propriété, même lorsque le dessin semble trompeur.

Conforme au programme officiel du Ministère de l'Éducation Nationale (2025-2026) · Mis à jour le

À la fin de ce chapitre, vous saurez

  • Calculer un angle à partir de deux angles connus
  • Relier égalité des côtés et égalité des angles
  • Construire un triangle avec règle, compas et rapporteur
  • Vérifier si trois longueurs permettent une construction

PrérequisMesurer un angle au rapporteur · Reconnaître deux segments de même longueur · Additionner et soustraire des nombres décimaux

Un bon cours, ça se partage.

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Trois triangles montrent un isocèle avec deux côtés codés égaux, un équilatéral avec trois côtés codés égaux et un rectangle avec un angle droit.
Les codages des côtés et des angles permettent de reconnaître les triangles particuliers.
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Comment calculer un angle dans un triangle ?

Définition

Triangle : Un triangle est un polygone qui possède trois sommets, trois côtés et trois angles. Dans , l’angle a pour sommet , la lettre placée au milieu.

Propriété

Somme des angles

Pour tout triangle , . Les trois mesures s’additionnent, quelle que soit la forme du triangle.

Deux angles connus

Les angles en et mesurent et . Calculer l’angle en .

  1. On additionne les angles connus : .
  2. On retranche cette somme à  : .
  3. On vérifie : .
Triangle ABC avec deux angles de 48° et 67° et un troisième angle de 65°.
Dans un triangle, 48° + 67° + 65° = 180°.
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Triangle isocèle : quelle propriété utiliser ?

Définition

Triangle isocèle en A : Un triangle est isocèle en lorsque . Le sommet principal est et la base est . Les angles à la base, en et en , ont la même mesure.

Le sommet principal ne se choisit pas en regardant quel point est le plus haut sur la feuille. On le repère grâce aux deux côtés égaux. Réciproquement, deux angles égaux dans un triangle permettent de conclure que les côtés opposés à ces angles sont égaux.

Partager les angles restants

est isocèle en et .

  1. Les angles en et sont égaux et leur somme vaut .
  2. Chacun mesure .

Triangles équilatéral, rectangle et rectangle isocèle

TriangleCôtés ou angles caractéristiquesConséquence
ÉquilatéralTrois côtés égauxTrois angles de 60°
RectangleUn angle de 90°Les deux autres angles totalisent 90°
Rectangle isocèleUn angle droit et deux côtés égauxLes deux angles aigus mesurent 45°

Un triangle peut appartenir à deux familles : rectangle et isocèle, par exemple. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse. Ce vocabulaire permet de décrire la figure ; aucun calcul avec le théorème de Pythagore n’est nécessaire dans cette leçon.

Peut-on construire un triangle avec trois longueurs ?

Propriété

Inégalité triangulaire

Pour construire un triangle non aplati, la plus grande longueur doit être strictement inférieure à la somme des deux autres. Si elle lui est égale, les sommets seraient alignés.

Tester avant de tracer

Peut-on utiliser cm, cm et cm ?

  1. La plus grande longueur est cm. Or .
  2. La construction est impossible : les deux petits côtés ne peuvent pas rejoindre les extrémités du plus grand.

Construction au compas : trois côtés connus

Méthode

Construire AB = 6 cm, AC = 5 cm et BC = 4 cm

  1. Vérifier , puis tracer de cm.
  2. Tracer un arc de centre et de rayon cm.
  3. Tracer un arc de centre et de rayon cm ; une intersection des arcs donne .
  4. Relier à et à . Ajouter les longueurs données et conserver les arcs utiles.
Construction d’un triangle ABC : AB = 6 cm, AC = 5 cm et BC = 4 cm ; C est à l’intersection de deux arcs.
Les arcs de centres A et B placent C à 5 cm de A et à 4 cm de B.
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Deux intersections sont possibles, de part et d’autre de . Elles donnent deux triangles symétriques ayant les mêmes longueurs. Si l’énoncé impose un côté de la droite, on retient l’intersection correspondante.

Construire avec un côté et deux angles

Méthode

Un segment et deux directions

  1. Tracer le côté connu, par exemple de cm.
  2. Au sommet , construire l’angle indiqué en plaçant correctement le centre du rapporteur.
  3. Au sommet , construire le second angle du même côté de .
  4. L’intersection des demi-droites donne le troisième sommet. Calculer son angle pour contrôler le résultat.

Éviter les erreurs dans les exercices sur les triangles

Attention

Un dessin à main levée ne prouve ni l’égalité de deux longueurs ni la présence d’un angle droit. Utilise les données et les codages. Ne divise par deux que si deux angles sont effectivement égaux.

Pour rédiger, annonce d’abord la propriété, écris ensuite le calcul et termine par une phrase contenant l’unité. Pour une construction, vérifie séparément les trois données : une figure ressemblante peut avoir un côté ou un angle incorrect.

Questions fréquentes

Comment calculer le troisième angle d’un triangle en 1AC ?

Additionne les deux angles connus, puis retranche la somme à 180°. Avec 54° et 71°, le troisième angle vaut 55°.

Comment reconnaître un triangle isocèle ?

Il possède au moins deux côtés de même longueur. Deux angles de même mesure permettent aussi de le reconnaître : les côtés opposés à ces angles sont égaux.

Quelle différence entre triangle équilatéral et isocèle ?

Le triangle équilatéral possède trois côtés égaux ; le triangle isocèle en possède au moins deux. Un triangle équilatéral est donc aussi isocèle.

Pourquoi trois longueurs ne permettent-elles pas toujours un triangle ?

La plus grande doit être strictement inférieure à la somme des deux autres pour que les sommets ne soient pas alignés et que les côtés se rejoignent.

Quiz : 12 questions sur ce chapitre

12 questions tirées au hasard parmi les 12 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.

Q1Quelle est la somme des angles d’un triangle ?

Bonne réponse :

Tout triangle possède trois angles dont la somme des mesures vaut .

Q2Deux angles mesurent et . Le troisième vaut :

Bonne réponse :

On calcule , après avoir additionné les deux angles connus.

Q3ABC est isocèle en A. Quels côtés sont égaux ?

Bonne réponse :

Le sommet principal A est commun aux deux côtés égaux AB et AC.

Q4Un angle d’un triangle équilatéral mesure :

Bonne réponse :

Les trois angles égaux se partagent , donc chacun vaut .

Q5Dans un triangle rectangle, un angle aigu vaut 37°. L’autre vaut :

Bonne réponse :

Après l’angle droit, il reste  : .

Q6Peut-on construire un triangle non aplati de côtés 3, 5 et 8 cm ?

Bonne réponse : Non

La somme est égale à  : les trois sommets seraient alignés.

Q7Isocèle en A avec un angle en A de 80° : un angle à la base vaut :

Bonne réponse :

Les deux angles à la base sont égaux : .

Q8Quels angles caractérisent un triangle rectangle isocèle ?

Bonne réponse : 90°, 45°, 45°

L’angle droit mesure et les deux autres angles égaux mesurent chacun .

Q9Quel est le sommet de l’angle ABC ?

Bonne réponse :

Dans la notation d’un angle à trois lettres, le sommet est la lettre centrale.

Q10Quel triplet permet un triangle non aplati ?

Bonne réponse : 4, 5, 8

Seul vérifie l’inégalité stricte pour la plus grande longueur.

Q11Deux angles égaux dans un triangle impliquent :

Bonne réponse : Deux côtés opposés égaux

La réciproque de la propriété du triangle isocèle relie ces angles à leurs côtés opposés.

Q12Une figure semble rectangle. Quelle preuve convient ?

Bonne réponse : Une donnée ou un codage d’angle droit

L’apparence ne suffit pas ; il faut une mesure donnée, un codage ou une propriété démontrée.

Exercices corrigés

10 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.

Exercice 1

Facile

Dans , les angles en et mesurent et . Calculer l’angle en .

Correction

Les angles d’un triangle totalisent .

.

Exercice 2

Facile

est isocèle en et . Calculer les deux autres angles.

Correction

Les angles en et sont égaux car .

Chacun vaut .

Exercice 3

Facile

est rectangle en et . Trouver .

Correction

Les deux angles aigus d’un triangle rectangle totalisent .

.

Exercice 4

Moyen

Un triangle a deux angles de . Déterminer le troisième puis sa nature.

Correction

Le troisième angle vaut .

Les trois angles sont égaux : le triangle est équilatéral et ses trois côtés sont égaux.

Exercice 5

Moyen

Tester les triplets de longueurs en cm : et .

Correction

Pour ,  : seul un triangle aplati serait possible.

Pour ,  : un triangle non aplati est constructible.

Exercice 6

Moyen

Construire avec cm, cm et cm.

Correction

. Tracer , puis les arcs de centres et , de rayons respectifs et cm.

Choisir une intersection , relier les sommets et vérifier les trois longueurs.

Exercice 7

Moyen

Un triangle isocèle a ses deux angles à la base de . Calculer l’angle au sommet principal.

Correction

Les deux angles connus totalisent .

L’angle au sommet principal mesure .

Exercice 8

Moyen

Yassine écrit : « Les angles valent , et , donc le triangle est isocèle rectangle. » Expliquer l’erreur.

Correction

, alors que la somme doit être .

Ces mesures ne peuvent pas être celles d’un triangle. Pour un triangle rectangle isocèle, les angles aigus valent .

Exercice 9

Difficile

, , sont alignés dans cet ordre. Dans , les angles en et valent et . Calculer .

Correction

Dans , .

Les demi-droites et sont opposées : .

Exercice 10

Difficile

Construire avec cm, et . Que peut-on dire de et  ?

Correction

Tracer , puis les deux demi-droites formant en et en du même côté de  ; elles se coupent en .

. Les angles en et sont égaux, donc les côtés opposés et sont égaux.

Mathématiques 1AC · S2

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