Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire

Propriété

On conserve la taille des parts

Avec $b\ne 0$, $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$. Pour une différence, on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur. Ici, les fractions sont positives et les différences proposées restent positives ou nulles.

Une différence à simplifier

Calculer $\frac{11}{15}-\frac{4}{15}$.

1. Les parts ont déjà la même taille : on soustrait 4 à 11.
2. Le résultat est $\frac{7}{15}$ ; 7 et 15 n’ont pas de diviseur commun supérieur à 1.

Méthode

Transformer avant de calculer

1. Si un dénominateur est un multiple de l’autre, utilise le plus grand.
2. Sinon, cherche un multiple commun simple ; le produit des deux dénominateurs convient toujours.
3. Multiplie chaque numérateur et son dénominateur par le même nombre.
4. Calcule les nouveaux numérateurs puis simplifie la fraction obtenue.

Deux méthodes possibles

Calculer $\frac{3}{4}+\frac{1}{6}$.

1. Le dénominateur 12 donne $\frac{9}{12}+\frac{2}{12}=\frac{11}{12}$.
2. Avec 24, on aurait obtenu $\frac{18}{24}+\frac{4}{24}=\frac{22}{24}=\frac{11}{12}$. Choisir 12 réduit le travail.

Propriété

Produit de fractions

Pour $b\ne 0$ et $d\ne 0$, $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$. Un produit ne demande pas de dénominateur commun.

Une partie d’une partie

Les deux tiers des trois quarts d’une plaque sont colorés. Quelle fraction de la plaque cela représente-t-il ?

1. On calcule $\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{6}{12}$.
2. La partie obtenue représente $\frac{1}{2}$ de la plaque entière.

Méthode

Simplifier les facteurs avant de multiplier

1. Écris le produit sous une seule barre de fraction.
2. Repère un facteur commun à un nombre du numérateur et à un nombre du dénominateur.
3. Divise ces deux nombres par ce facteur, puis multiplie ce qui reste.

Garder des nombres petits

Calculer $\frac{7}{10}\times \frac{15}{14}$.

1. On simplifie 7 et 14 par 7, puis 15 et 10 par 5.
2. Il reste $\frac{1\times 3}{2\times 2}=\frac{3}{4}$.

Propriété

Multiplier par la fraction retournée

Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}$, avec $b$, $c$ et $d$ non nuls.

Vérifier un quotient par un produit

Calculer $\frac{3}{5}÷\frac{2}{7}$.

1. $\frac{3}{5}\times \frac{7}{2}=\frac{21}{10}$.
2. Vérification : $\frac{21}{10}\times \frac{2}{7}=\frac{3}{5}$. On retourne seulement la fraction qui divise.

Méthode

Partager puis prendre les parts

1. Divise la quantité totale par le dénominateur.
2. Multiplie la valeur d’une part par le numérateur.
3. Écris l’unité et contrôle si le résultat est cohérent.

Une collection de livres

Les cinq huitièmes des 40 livres d’une étagère sont des romans.

1. Un huitième représente $40÷8=5$ livres.
2. Cinq huitièmes représentent $5\times 5=25$ romans. Il reste $40-25=15$ autres livres.

Le produit passe avant la somme

Calculer $A=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}$.

1. D’abord, $\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$.
2. Donc $A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. Avec des parenthèses autour de la somme de départ, le calcul serait différent.