Parallélogramme 1AC : exercices corrigés

1. $[PQ]$.
2. $[MP]$ et $[NQ]$.
3. $\hat{P}$.
4. $[MN]$ et $[NP]$, qui ont le sommet $N$ en commun.

À retenir : Les sommets se lisent dans l’ordre du contour.

1. Vrai : dans $ABCD$, on a $AB=CD$ et $AD=BC$.
2. Faux : elles se coupent en leur milieu, mais leurs longueurs peuvent différer.
3. Vrai : dans $ABCD$, on a $\hat{A}=\hat{C}$ et $\hat{B}=\hat{D}$.
4. Faux : c’est le cas d’un rectangle seulement.

À retenir : Une propriété vraie pour tout parallélogramme ne dépend pas de la figure dessinée.

1. À $1$ carreau à droite et $3$ vers le haut de $A$ : même déplacement que de $B$ à $C$.
2. $4$ carreaux à droite, comme de $A$ à $B$.
3. Au milieu de $[AC]$ : $2,5$ carreaux à droite et $1,5$ vers le haut de $A$.

À retenir : Dans un parallélogramme, les côtés opposés correspondent au même déplacement.

1. $BC=26÷2-8=5$ cm.
2. Quatre côtés égaux : $19÷4=4,75$ cm.
3. $2(2x+x)=36$ donne $x=6$ : $BC=6$ cm et $AB=12$ cm.

À retenir : On traduit le périmètre par $P=2(AB+BC)$.

1. $\hat{A}+\hat{B}=180^{\circ }$, soit trois fois $\hat{B}$ : $\hat{B}=60^{\circ }$ et $\hat{A}=120^{\circ }$.
2. $\hat{C}=120^{\circ }$ et $\hat{D}=60^{\circ }$.
3. Le consécutif d’un angle aigu est obtus, car leur somme vaut $180^{\circ }$.

À retenir : Angles opposés égaux, angles consécutifs supplémentaires.

1. $OA=6$ cm et $OB=4$ cm.
2. $6+4+7=17$ cm.
3. $OC=6$, $OD=4$ et $CD=7$ : $17$ cm aussi.

À retenir : Le centre partage chaque diagonale en deux moitiés égales.

1. On trace $[AC]$ et son milieu $O$, puis une droite passant par $O$ faisant $50^{\circ }$ avec $(AC)$. On y place $B$ et $D$ à $3$ cm de $O$, de part et d’autre.
2. Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu $O$.
3. Une infinité : chaque angle entre les diagonales donne une figure différente.

À retenir : On construit d’abord les diagonales, puis on relie leurs extrémités.

1. On trace par $D$ la parallèle à $(AB)$ et on y reporte $5$ cm dans le même sens que de $A$ vers $B$.
2. $(DC)\parallel (AB)$ et $DC=AB$ : une paire de côtés opposés parallèles et de même longueur.
3. On obtient un quadrilatère croisé, qui n’est pas un parallélogramme $ABCD$.

À retenir : Le sens du report compte autant que la longueur.

1. Ses diagonales $[AC]$ et $[BE]$ ont le même milieu $I$.
2. Il est opposé à $\widehat{ABC}$ : $75^{\circ }$.
3. Il est consécutif à $\widehat{ABC}$ : $180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$.

À retenir : On prouve d’abord la nature de la figure, puis on utilise ses angles.

1. Ils sont parallèles et de même longueur, car $ABCD$ est un parallélogramme.
2. Ils sont aussi parallèles et de même longueur, dans $BEFC$.
3. $[AD]$ et $[EF]$ sont parallèles et de même longueur : $AEFD$ est un parallélogramme.

À retenir : Deux égalités qui passent par un même segment se combinent.

1. $2\times (8+5)=26$ cm pour les deux.
2. $8\times 5=40$ cm² et $8\times 3=24$ cm².
3. Sa hauteur est égale au côté de $5$ cm : ce côté est perpendiculaire à la base, c’est un rectangle.

À retenir : Le périmètre ne dépend que des côtés, l’aire dépend de la hauteur.

1. $2,5\times 5=12,5$ m².
2. $12\times 12,5=150$ m².
3. $12\times 2,5=30$ m.

À retenir : Base et hauteur se lisent dans la situation avant le calcul.

1. Que $(AB)\parallel (CD)$ et $(AD)\parallel (BC)$.
2. Non : il faut aussi que les deux autres côtés soient parallèles.
3. Deux paires.

À retenir : La définition porte sur les deux paires de côtés opposés.

1. Les côtés opposés devraient avoir la même longueur.
2. Les angles opposés devraient être égaux.
3. Deux angles consécutifs devraient avoir une somme de $180^{\circ }$.
4. Le centre devrait être le milieu de $[AC]$.

À retenir : Une mesure contraire à une propriété prouve que la figure n’est pas un parallélogramme.

1. $6\times 4=24$ cm².
2. $3,5\times 2=7$ cm².
3. $12$ dm $=120$ cm, donc $120\times 50=6000$ cm².

À retenir : On convertit dans la même unité avant de multiplier.

1. Elles sont portées par $(AB)$ et $(CD)$, côtés opposés du rectangle.
2. $[AM]$ et $[CN]$ sont parallèles et de même longueur : $AMCN$ est un parallélogramme.
3. Base $AM=2$ cm et hauteur $5$ cm : $2\times 5=10$ cm².

À retenir : Un parallélogramme peut se cacher dans une autre figure.

1. $110^{\circ }-40^{\circ }=70^{\circ }$.
2. $180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$.
3. $180^{\circ }-40^{\circ }-70^{\circ }=70^{\circ }$ : deux angles égaux, $ABC$ est isocèle en $A$.

À retenir : Une diagonale partage le parallélogramme en deux triangles.

1. Le point $N$ : l’image de $[AB]$ est $[CD]$, et $M$, $O$, $N$ sont alignés.
2. Son milieu.
3. $2\times 1,8=3,6$ cm.

À retenir : Le centre d’un parallélogramme est son centre de symétrie.

1. On trace l’angle de $50^{\circ }$ en $A$, on place $B$ à $6$ cm et $D$ à $4$ cm sur ses côtés, puis on trace les parallèles par $B$ et par $D$.
2. $\hat{B}=\hat{D}=130^{\circ }$ et $\hat{C}=50^{\circ }$.
3. $2\times (6+4)=20$ cm.

À retenir : Deux côtés consécutifs et l’angle qu’ils forment déterminent le parallélogramme.

1. $AB=CD$ : $2x+1=9$, donc $x=4$.
2. $AD=3\times 4-2=10$ cm ; périmètre : $2\times (9+10)=38$ cm.
3. $\hat{A}=\hat{C}$ : $3y=75$, donc $y=25$.

À retenir : Une propriété d’égalité fournit une équation.

1. $B$ est le milieu de $[AE]$, donc $BE=AB$, et $AB=DC$.
2. $(BE)$ est la droite $(AB)$, parallèle à $(DC)$.
3. $BECD$ est un parallélogramme, donc $EC=BD$.

À retenir : Deux propriétés successives mènent à un nouveau parallélogramme.

1. Non : $2\times (80+30)=220$ cm avant et après.
2. $80\times 30=2400$ cm² puis $80\times 24=1920$ cm².
3. $2400-1920=480$ cm².

À retenir : Déformer un parallélogramme conserve ses côtés mais change son aire.

1. $20\times 15=300$ cm².
2. $300\times 400=120000$ cm².
3. $120000÷300=400$ carreaux.

À retenir : On exprime toutes les aires dans la même unité avant de diviser.

1. $180^{\circ }$, angles consécutifs.
2. La moitié de $180^{\circ }$ : $90^{\circ }$.
3. $180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$ : les deux bissectrices sont perpendiculaires.

À retenir : Les propriétés du parallélogramme se combinent avec celles des bissectrices.