Parallélogramme

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Côtés opposés

Dans un parallélogramme $ABCD$, $AB=CD$ et $AD=BC$. Le périmètre vaut donc $P=2(AB+BC)$.

Trouver une longueur

$ABCD$ est un parallélogramme, $AB=7$ cm et $BC=4$ cm.

1. Les côtés opposés donnent $CD=7$ cm et $AD=4$ cm.
2. Le périmètre est $P=2(7+4)=22$ cm.

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Milieu commun

Si $O$ est l’intersection des diagonales d’un parallélogramme $ABCD$, alors $OA=OC$ et $OB=OD$. Le point $O$ est le centre de symétrie du parallélogramme.

Une demi-diagonale

Les diagonales se coupent en $O$ et $AC=9$ cm.

1. Comme $O$ est le milieu de $[AC]$, $OA=OC=9÷2=4,5$ cm.
2. Cela ne permet pas de calculer $OB$ : les deux diagonales n’ont pas nécessairement la même longueur.

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Angles du parallélogramme

Les angles opposés d’un parallélogramme ont la même mesure. Deux angles consécutifs sont supplémentaires : leur somme vaut $180°$.

Un angle suffit

Dans $ABCD$, l’angle en $A$ mesure $68°$.

1. L’angle opposé en $C$ mesure aussi $68°$.
2. Les angles en $B$ et en $D$ valent chacun $180-68=112°$.

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Trois critères utiles

Un quadrilatère non croisé est un parallélogramme si ses côtés opposés sont parallèles deux à deux ; ou si ses diagonales se coupent en leur milieu ; ou si une paire de côtés opposés est à la fois parallèle et de même longueur.

Méthode

Avec trois sommets consécutifs A, B, C

1. Tracer par $A$ la parallèle à $(BC)$.
2. Tracer par $C$ la parallèle à $(AB)$.
3. Nommer $D$ le point d’intersection des deux parallèles.
4. Justifier : les deux paires de côtés opposés sont parallèles, donc $ABCD$ est un parallélogramme.

Méthode

Avec le centre des diagonales

1. Construire le milieu $O$ de $[AC]$.
2. Construire $D$, symétrique de $B$ par rapport à $O$.
3. Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont alors le même milieu $O$.
4. Conclure que le quadrilatère est un parallélogramme.

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Base fois hauteur

L’aire d’un parallélogramme est le produit d’une longueur de base par la hauteur perpendiculaire correspondante : $\mathcal{A}=b\times h$.