Symétrie centrale 1AC : exercices corrigés

1. Le milieu du segment $[A{A}^{\prime }]$.
2. Le point $A$.
3. $O$ lui-même.

À retenir : La symétrie centrale échange un point et son image.

1. $2\times 2,6=5,2$ cm.
2. $11÷2=5,5$ cm.
3. $R{R}^{\prime }=2,5$ dm, soit $25$ cm.

À retenir : Le centre partage le segment en deux longueurs égales.

1. La symétrie axiale.
2. La symétrie centrale.
3. La symétrie axiale : la droite tracée est perpendiculaire à l’axe.
4. La symétrie centrale : l’image est sur la droite qui passe par le centre.

À retenir : Un point et un demi-tour pour la symétrie centrale, une droite et un pliage pour l’axiale.

1. On construit les images des quatre sommets, puis on les relie dans le même ordre.
2. $3+5+4+6=18$ cm, comme celui de $ABCD$.
3. $80^{\circ }$.

À retenir : L’image d’un polygone se construit sommet par sommet.

1. $A$ lui-même, puisque c’est le centre.
2. Sur la droite $(AB)$, de l’autre côté de $A$, avec $A{B}^{\prime }=AB$.
3. Le point $A$.

À retenir : Le centre de symétrie est son propre symétrique.

1. $B$ a pour image $C$, et $C$ a pour image $B$.
2. Sur la droite $(AO)$, avec $O$ milieu de $[A{A}^{\prime }]$.
3. $[A{A}^{\prime }]$ et $[BC]$, qui se coupent en leur milieu $O$.

À retenir : Quand le centre est le milieu d’un segment, ses extrémités s’échangent.

1. Oui : la symétrie centrale conserve l’alignement.
2. $A^{\prime }{C}^{\prime }=AC=2+3=5$ cm.
3. Le milieu de $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$, car les longueurs et l’alignement sont conservés.

À retenir : Une symétrie centrale conserve aussi les milieux.

1. Le cercle lui-même : son centre ne bouge pas et le rayon est conservé.
2. Le point $N$, car $O$ est le milieu de $[MN]$.
3. Sur la droite $(OC)$, de l’autre côté de $O$, à $4$ cm de $O$.

À retenir : L’image d’un cercle a pour centre l’image du centre.

1. C’est le milieu de $[A{A}^{\prime }]$ : on le place à la règle graduée.
2. $9÷2=4,5$ cm.
3. Le point trouvé doit aussi être le milieu de $[B{B}^{\prime }]$. Sinon, les points ne sont pas symétriques par une même symétrie.

À retenir : Le centre est le milieu commun de tous les segments joignant un point à son image.

1. Oui, le milieu de son trait oblique.
2. Oui, le milieu de sa barre.
3. Non : après un demi-tour, ses branches seraient tournées vers la gauche.
4. Oui, le point de croisement de ses deux traits.

À retenir : On imagine un demi-tour de la lettre autour du point choisi.

1. $C$ et $D$.
2. L’image de $[AB]$ est $[CD]$, donc $CD=AB$.
3. Elles sont parallèles, car l’une est l’image de l’autre.

À retenir : Repérer un centre de symétrie dans une figure permet d’obtenir des longueurs égales et des parallèles.

1. $2\times 6=12$ m.
2. $60^{\circ }$, car la symétrie conserve les angles.
3. $AB=6$ m, donc $A^{\prime }{B}^{\prime }=6$ m par conservation des longueurs.

À retenir : Un demi-tour autour d’un axe est une symétrie centrale.

1. $G$, car $OF=OG=1$ cm.
2. $H$, car $OE=OH=2$ cm.
3. $O$.
4. $E$.

À retenir : Sur une droite passant par le centre, les symétriques restent sur la droite.

1. $7$ cm.
2. $35^{\circ }$.
3. $12$ cm².
4. $20$ cm.

À retenir : Longueurs, angles, aires et périmètres sont conservés.

1. Oui, toujours.
2. Sur la droite $(d)$, de l’autre côté de $O$.
3. Parce que le point $A^{\prime }$ est sur cette droite.

À retenir : Le symétrique d’un point est sur la droite qui joint ce point au centre.

1. Le point $A^{\prime }$, symétrique de $A$.
2. Dans le sens opposé, parallèlement à $[Ax)$.
3. Sur l’image de $[Ax)$, et $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB=3$ cm.

À retenir : L’image d’une demi-droite est une demi-droite parallèle de sens opposé.

1. Au milieu de $[A{A}^{\prime }]$.
2. $8÷2=4$ cm.
3. On reporte $3$ cm sur $(BO)$ de l’autre côté de $O$ : $B{B}^{\prime }=6$ cm.

À retenir : Un seul couple de points symétriques suffit pour retrouver le centre.

1. $OC=3,5$ cm, car $O$ est sur le cercle ; $C{C}^{\prime }=7$ cm.
2. Oui : $O$ est sur le premier cercle et il est sa propre image.
3. Leurs centres sont à $7$ cm, exactement $3,5+3,5$ : ils se touchent en un seul point.

À retenir : Quand le centre est sur une figure, il est aussi sur son image, car il ne bouge pas.

1. $AB=5-2=3$ cm, et $A^{\prime }{B}^{\prime }=3$ cm.
2. $A{A}^{\prime }=4$ cm et $B{B}^{\prime }=10$ cm.
3. $A$ et $B^{\prime }$ sont de part et d’autre de $O$ : $A{B}^{\prime }=2+5=7$ cm.

À retenir : On place les points dans l’ordre sur la droite avant de calculer.

1. $A^{\prime }$ est à $3$ cm de $O$ du côté de $B$ : $A^{\prime }B=5-3=2$ cm.
2. $A^{\prime }$ est le milieu de $[O{O}^{\prime }]$ : $O{O}^{\prime }=2\times 3=6$ cm.
3. Au-delà de $B$, à $6-5=1$ cm de $B$.

À retenir : On enchaîne les symétries une à une, en changeant de centre.

1. $C$ et $B$ : elles s’échangent.
2. L’image de $[AB]$ est $[A^{\prime }C]$ et celle de $[AC]$ est $[A^{\prime }B]$ : les longueurs sont conservées.
3. $AB=AC$, donc les quatre côtés $AB$, $B{A}^{\prime }$, $A^{\prime }C$ et $CA$ sont égaux.

À retenir : Les longueurs conservées par symétrie s’ajoutent aux données de l’énoncé.

1. Oui, le milieu de $[CD]$ : il échange les deux centres et le rayon est conservé.
2. Non : l’image du grand cercle serait un cercle de même rayon, absent de la figure.
3. Oui, le milieu de $[AB]$, centre de symétrie des deux figures.

À retenir : Un centre de symétrie d’une figure composée doit convenir à chacune de ses parties.

1. $18+18=36$ m².
2. $20+20=40$ m.
3. $2\times 7,5=15$ m : l’allée passe par la fontaine.

À retenir : Dans un problème, on traduit chaque question par une propriété conservée.

1. La pointe placée sur le $6$.
2. Un demi-tour : $30$ minutes, soit $180^{\circ }$.
3. À $h$ heures et $40$ minutes, car $10+30=40$.

À retenir : Un demi-tour autour d’un point correspond à une rotation de $180^{\circ }$.