Symétrie centrale

Méthode

Construire A′ de centre O

1. Tracer la droite $(AO)$.
2. Ouvrir le compas sur la longueur $OA$.
3. Reporter cette longueur à partir de $O$, du côté opposé à $A$ ; on obtient $A^{\prime }$.
4. Coder $OA=O{A}^{\prime }$ et vérifier l’alignement des trois points.

Une distance doublée

$OA=3,2$ cm. Quelle est la longueur $A{A}^{\prime }$ ?

1. Le centre est au milieu, donc $O{A}^{\prime }=3,2$ cm.
2. $A{A}^{\prime }=OA+O{A}^{\prime }=6,4$ cm. Cette somme est possible car $O$ est entre les deux points.

Méthode

Image d’un triangle

1. Construire séparément les symétriques $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ et $C^{\prime }$ des sommets.
2. Relier les points dans le même ordre : $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$ et $C^{\prime }{A}^{\prime }$.
3. Conserver les codages utiles et vérifier que $O$ est le milieu des trois segments reliant un sommet à son image.
4. Éviter de tracer seulement une figure qui ressemble à l’originale : chaque point doit correspondre au bon sommet.

Propriété

Conservations

La symétrie centrale conserve les longueurs, les mesures des angles, l’alignement et les aires. L’image d’un segment $[AB]$ est $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$ avec $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$. L’image d’une droite est une droite parallèle, éventuellement confondue avec elle.

Une propriété sans nouvelle mesure

$ABC$ est rectangle en $B$ avec $AB=4$ cm. Son image est $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

1. L’angle en $B^{\prime }$ reste droit et $A^{\prime }{B}^{\prime }=4$ cm.
2. On peut l’affirmer par conservation des angles et des longueurs, sans reprendre le rapporteur ou la règle.

Propriété

Le rayon reste identique

L’image du cercle de centre $C$ et de rayon $r$ est le cercle de centre $C^{\prime }$, symétrique de $C$, et de même rayon $r$.

Méthode

Construire le cercle image

1. Construire d’abord $C^{\prime }$ par rapport à $O$.
2. Garder l’ouverture du compas correspondant au rayon du cercle initial.
3. Tracer le cercle de centre $C^{\prime }$ avec ce rayon.
4. Pour contrôler, choisir un point du premier cercle et construire son image : elle doit appartenir au second.