Pythagore et cosinus 2AC : exercices corrigés

1. Vrai : c’est le théorème de Pythagore.
2. Faux : seulement dans un triangle rectangle.
3. Faux : $3+4=7$, alors que $\sqrt{25}=5$.
4. Vrai.

À retenir : La racine d’une somme n’est pas la somme des racines.

1. $49$.
2. $1,44$.
3. $5$.
4. $225$.

À retenir : Le carré d’une racine carrée redonne le nombre.

1. $81+1600=1681$, donc $41$ cm.
2. $0,81+1,44=2,25$, donc $1,5$ m.

À retenir : On ajoute les carrés des deux côtés de l’angle droit.

1. $289-225=64$, donc $8$ cm.
2. $100-36=64$, donc $8$ cm aussi.
3. $6,76-1=5,76$, donc $2,4$ m.

À retenir : Carré de l’hypoténuse moins carré du côté connu.

1. $[RT]$.
2. $R{T}^2=841$ et $R{S}^2+S{T}^2=400+441=841$.
3. D’après la réciproque, $RST$ est rectangle en $S$, sommet opposé à $[RT]$.

À retenir : L’angle droit est opposé au plus grand côté.

1. $\sqrt{18}\approx 4,24$ cm.
2. $\sqrt{5}\approx 2,24$ cm.
3. Non : seule l’écriture $\sqrt{5}$ est exacte.

À retenir : Une valeur exacte garde la racine carrée.

1. $15\times 0,6=9$ cm.
2. $6÷0,6=10$ cm.
3. Le cosinus ne dépend que de l’angle, pas de la taille du triangle.

À retenir : Deux triangles rectangles de même angle aigu ont le même rapport adjacent sur hypoténuse.

1. $12\times 0,77\approx 9,24$ cm.
2. $50\times 0,34=17$ m.

À retenir : Le côté adjacent est l’hypoténuse multipliée par le cosinus.

1. $\frac{7}{10}=0,7$.
2. $\approx 46^{\circ }$.
3. $90^{\circ }-46^{\circ }=44^{\circ }$.

À retenir : Les deux angles aigus sont complémentaires.

1. $\sqrt{16-0,25}=\sqrt{15,75}\approx 3,97$ m.
2. $\frac{3,97}{4}\approx 0,99$.
3. $\approx 7^{\circ }$.

À retenir : La rampe est l’hypoténuse d’un triangle rectangle.

1. $2500-900=1600$, donc $40$ m.
2. $\frac{30}{50}=0,6$.
3. $\approx 53^{\circ }$.

À retenir : On place l’angle droit entre la verticale et le sol.

1. Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
2. $6^2+8^2=100$, donc $10$ cm.
3. $40$ cm.

À retenir : On travaille avec les demi-diagonales.

1. $[BC]$.
2. $[AB]$.
3. $[AC]$.

À retenir : Le côté adjacent touche l’angle, sans être l’hypoténuse.

1. $12$.
2. $\sqrt{25}=5$.
3. $1,2$.
4. $6,25$.

À retenir : On calcule sous la racine avant de la prendre.

1. $\sqrt{81}=9$ cm.
2. $\sqrt{2}\approx 1,41$ cm.
3. Deux côtés égaux $c$ : $2c^2=36$, donc $c^2=18$ et $c=\sqrt{18}\approx 4,24$ cm.

À retenir : Le côté d’un carré est la racine carrée de son aire.

1. $42,25-6,25=36$, donc $6$ cm.
2. $25-9=16$, donc $4$ cm.

À retenir : Le côté cherché est plus court que l’hypoténuse : on contrôle le résultat.

1. $676=100+576$ : oui.
2. $36\ne 16+25=41$ : non.
3. $6,25=2,25+4$ : oui.

À retenir : Un seul calcul de chaque côté de l’égalité suffit à trancher.

1. Dans un triangle isocèle, cette hauteur est aussi la médiane.
2. $169-25=144$, donc $12$ cm.
3. $10\times 12÷2=60$ cm².

À retenir : La hauteur coupe le triangle isocèle en deux triangles rectangles.

1. $\frac{4}{5}=0,8$.
2. $25-16=9$, donc $3$ cm.
3. $\frac{3}{5}=0,6$.

À retenir : Chaque angle aigu a son propre côté adjacent.

1. $20\times 0,91=18,2$ cm.
2. $400-331,24=68,76$, donc $\sqrt{68,76}\approx 8,29$ cm.
3. $90^{\circ }-25^{\circ }=65^{\circ }$.

À retenir : Le cosinus donne un premier côté, Pythagore le second.

1. Écarts horizontal $3$ et vertical $4$ : $AB=\sqrt{9+16}=5$ cm.
2. Écarts $5$ et $12$ : $CD=13$ cm.
3. Les écarts horizontal et vertical forment un angle droit.

À retenir : Deux écarts perpendiculaires sont les côtés de l’angle droit.

1. $5^2-4^2=9$, donc $3$ m.
2. $\frac{4}{5}=0,8$.
3. $\approx 37^{\circ }$.

À retenir : La moitié de la largeur et la hauteur sont les côtés de l’angle droit.

1. $\sqrt{36+64}=10$ km.
2. $14$ km.
3. $\frac{6}{10}=0,6$.

À retenir : Est et nord sont perpendiculaires.

1. $\sqrt{25+144}=13$ cm.
2. $\sqrt{200}\approx 14,14$ cm.
3. $\sqrt{2}\approx 1,41$ m : non.

À retenir : La diagonale d’un carré de côté $c$ mesure $c\sqrt{2}$.