Théorème de Pythagore et cosinus d’un angle aigu

Quand utiliser le théorème de Pythagore ?

Le théorème donne une égalité entre des carrés de longueurs. Il ne dit pas que la longueur de l’hypoténuse est la somme des deux autres longueurs. Avant tout calcul, indique pourquoi le triangle est rectangle et écris l’égalité avec les lettres de la figure.

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Pourquoi le théorème de Pythagore est-il vrai ?

On peut le démontrer avec des aires et l’identité $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ du chapitre « Calcul littéral ». On place quatre triangles rectangles identiques, de côtés de l’angle droit $a$ et $b$ et d’hypoténuse $c$, dans les coins d’un carré de côté $a+b$.

Sur chaque côté du grand carré, les deux angles aigus de deux triangles et un angle de la figure centrale forment un angle plat. Les deux angles aigus d’un triangle rectangle totalisent $90^{\circ }$, donc l’angle restant mesure $90^{\circ }$. La figure centrale a quatre côtés de longueur $c$ et un angle droit : c’est un carré d’aire $c^2$. Chaque triangle a pour aire $\frac{ab}{2}$.

En développant, on obtient $a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$. On soustrait $2ab$ aux deux membres : $c^2=a^2+b^2$. C’est exactement l’égalité de Pythagore pour un triangle rectangle de côtés $a$ et $b$ et d’hypoténuse $c$.

Comment calculer un côté de l’angle droit ?

Pourquoi certaines longueurs ne sont-elles pas rationnelles ?

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Un carré de côté 1 a une diagonale dont le carré vaut 2. Cette diagonale mesure $\sqrt{2}$, environ $1,414$ ; aucun quotient de deux entiers ne donne exactement ce nombre. On dit que $\sqrt{2}$ est irrationnel. Les nombres rationnels et les nombres irrationnels sont des nombres réels. La calculatrice affiche ici une valeur approchée, tandis que l’écriture avec la racine conserve la longueur exacte.

Comment prouver qu’un triangle est rectangle ?

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Si l’égalité échoue pour le plus grand côté, le triangle n’est pas rectangle. Pour des données exactes, compare les carrés avant d’arrondir. Une égalité seulement approximative ne suffit pas à démontrer qu’un angle vaut exactement $90^{\circ }$.

Qu’est-ce que le cosinus d’un angle aigu ?

Le côté adjacent touche l’angle choisi et n’est pas l’hypoténuse. Quand on passe de l’angle $B$ à l’angle $C$, le côté adjacent change. Le cosinus est un rapport sans unité ; pour un angle aigu, il est strictement compris entre $0$ et $1$.

Pourquoi le cosinus ne dépend-il que de l’angle ?

Prends deux triangles rectangles qui ont le même angle aigu en $B$ : $ABC$ rectangle en $A$, et $MBN$ rectangle en $M$, avec $M$ sur $[BA]$ et $N$ sur $[BC]$. Les droites $(MN)$ et $(AC)$ sont toutes deux perpendiculaires à $(AB)$, donc parallèles. Le chapitre « Droites des milieux » du semestre 1 donne alors $\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}$.

En réorganisant cette égalité, on obtient $\frac{BM}{BN}=\frac{BA}{BC}$ : le quotient du côté adjacent par l’hypoténuse est le même dans les deux triangles. Il ne dépend pas de la taille du triangle rectangle, seulement de la mesure de l’angle. C’est ce qui permet de parler du cosinus d’un angle.

Calculer une longueur ou un angle avec le cosinus

Pythagore ou cosinus : quelle méthode choisir ?

Avec deux côtés connus dans un triangle rectangle, Pythagore permet de trouver le troisième. Avec un angle aigu et un côté adjacent ou l’hypoténuse, utilise le cosinus. Pour démontrer qu’un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs, utilise la réciproque de Pythagore. La présence d’un angle dans l’énoncé ne suffit pas : identifie précisément ce qui est connu et ce qui est recherché.