Triangle rectangle et cercle 2AC : exercices corrigés

1. Vrai.
2. Faux : c’est le plus grand côté.
3. Vrai : rectangle au sommet opposé au diamètre.
4. Faux : elle en mesure la moitié.

À retenir : On compare chaque affirmation aux propriétés du cours.

1. $[MP]$.
2. $[RS]$.
3. $[FG]$.

À retenir : L’hypoténuse ne contient pas le sommet de l’angle droit.

1. $3,6$ cm.
2. $5$ cm.
3. $6,8$ cm.

À retenir : Rayon et médiane valent tous deux la moitié de l’hypoténuse.

1. $90^{\circ }$, car $[EF]$ est un diamètre.
2. $90^{\circ }-54^{\circ }=36^{\circ }$.
3. $OE=OG$ : $\widehat{OGE}=\widehat{OEG}=54^{\circ }$.

À retenir : On repère l’angle droit, puis les triangles isocèles formés par les rayons.

1. Sur le cercle circonscrit à $ABC$.
2. Il est rectangle en $D$.
3. Non : $E$ n’est pas sur le cercle de diamètre $[BC]$.

À retenir : Être sur le cercle de diamètre $[BC]$, c’est voir $[BC]$ sous un angle droit.

1. $CK=\frac{AB}{2}$ : $ABC$ est rectangle en $C$.
2. $ABC$ n’est pas rectangle en $C$.
3. $3,5$ cm.

À retenir : On compare la médiane à la moitié du côté opposé.

1. $[AC]$.
2. Il est rectangle en $B$.
3. $B$ est sur le cercle de diamètre $[AC]$, distinct de $A$ et $C$, donc $ABC$ est rectangle en $B$.

À retenir : Le sommet de l’angle droit est celui qui n’appartient pas au diamètre.

1. $OA=OB=OC$, la moitié de l’hypoténuse.
2. $40^{\circ }$.
3. $90^{\circ }-40^{\circ }=50^{\circ }$.

À retenir : La médiane issue de l’angle droit coupe le triangle en deux triangles isocèles.

1. $6$ cm chacun.
2. Sur le cercle de centre $O$ et de rayon $6$ cm.
3. $2\times 3,14\times 6\approx 37,7$ cm.

À retenir : Tous les sommets d’angles droits qui voient $[BC]$ sont sur un même cercle.

1. $B$ est sur le cercle de diamètre $[AC]$.
2. $C$ est sur le cercle de diamètre $[BD]$.
3. Ses angles sont droits : c’est un rectangle.

À retenir : Chaque sommet vu depuis un diamètre forme un angle droit.

1. $90^{\circ }$.
2. $60^{\circ }$.
3. $3$ m, le rayon.

À retenir : Tout point d’un demi-cercle voit le diamètre sous un angle droit.

1. On trace $[BC]$ et le cercle de diamètre $[BC]$, puis une demi-droite issue de $B$ faisant $40^{\circ }$ avec $[BC]$ ; elle recoupe le cercle en $A$.
2. $A$ est sur le cercle de diamètre $[BC]$.
3. $90^{\circ }-40^{\circ }=50^{\circ }$.

À retenir : Le cercle de diamètre l’hypoténuse remplace l’équerre.

1. Le milieu de $[BC]$.
2. $ABC$ est rectangle en $A$.
3. La moitié de l’hypoténuse.

À retenir : Chaque propriété relie un angle droit et un cercle.

1. Rectangle en $P$.
2. $4$ cm.
3. $4$ cm, un rayon.

À retenir : Un diamètre et un point du cercle forment un triangle rectangle.

1. $5$ cm.
2. $45^{\circ }$ chacun.
3. $OA=OB$ et la médiane $(AO)$ est aussi hauteur : $AOB$ est rectangle isocèle en $O$.

À retenir : Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi hauteur.

1. $90^{\circ }$, car l’angle en $C$ est droit.
2. Trois fois $\widehat{CBA}$ font $90^{\circ }$ : $\widehat{CBA}=30^{\circ }$ et $\widehat{CAB}=60^{\circ }$.

À retenir : Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.

1. Au milieu de $[BC]$.
2. $5$ cm.
3. $90^{\circ }$.

À retenir : Le centre se place sans construire de médiatrice.

1. $5$ cm.
2. $4,8<5$ : la hauteur est plus courte que la médiane.
3. $AH$ est la distance de $A$ à $(BC)$, la plus courte des distances de $A$ aux points de $(BC)$.

À retenir : La perpendiculaire donne la plus courte distance d’un point à une droite.

1. $MG=\frac{EF}{2}$.
2. $EFG$ est rectangle en $G$.
3. Sur le cercle de diamètre $[EF]$.

À retenir : La réciproque de la médiane prouve un angle droit.

1. Ses diagonales $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu $O$.
2. $AD=2\times AO$ et $AO=\frac{BC}{2}$.
3. Un parallélogramme à diagonales égales : un rectangle.

À retenir : La médiane relative à l’hypoténuse donne des diagonales égales.

1. $OA=OC$.
2. $(180^{\circ }-70^{\circ })÷2=55^{\circ }$.
3. $90^{\circ }-55^{\circ }=35^{\circ }$.

À retenir : Les triangles isocèles de sommet $O$ permettent de calculer tous les angles.

1. $6$ m, le diamètre.
2. $90^{\circ }$.
3. Tout point du cercle, autre que $B$ et $C$, voit le diamètre sous un angle droit.

À retenir : Un cercle permet de construire un angle droit sans équerre.

1. L’angle $\widehat{ABC}$ est droit et $B$ est sur le cercle : $[AC]$ est un diamètre.
2. $8$ cm.
3. Ses diagonales mesurent $8$ cm : $8\times 8÷2=32$ cm².

À retenir : Un angle droit inscrit dans un cercle repose sur un diamètre.

1. Il faut qu’un de ses côtés soit un diamètre du cercle.
2. Il faudrait $OA=6$ cm.
3. L’angle droit est en $A$, le point du cercle.

À retenir : Chaque propriété a des conditions précises qu’il faut toutes vérifier.