Triangle rectangle et cercle

Propriété

Du triangle rectangle au cercle

Si $ABC$ est rectangle en $A$ et si $O$ est le milieu de $[BC]$, alors $OA=OB=OC=\frac{BC}{2}$. Le cercle circonscrit a pour centre $O$ et pour diamètre $[BC]$.

Trouver un rayon sans Pythagore

$ABC$ est rectangle en $A$ et $BC=13$ cm. Quel est le rayon du cercle circonscrit ?

1. L’hypoténuse est $[BC]$. Le rayon vaut la moitié de sa longueur.
2. $R=\frac{13}{2}=6,5$ cm. Il n’est pas nécessaire de connaître $AB$ et $AC$.

Propriété

Du diamètre au triangle rectangle

Si $B$ et $C$ sont les extrémités d’un diamètre et si $A$ est un autre point du cercle, distinct de $B$ et de $C$, alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Méthode

Rédiger une preuve avec un diamètre

1. Écrire que les trois sommets appartiennent au même cercle.
2. Préciser quel segment est un diamètre de ce cercle.
3. Appliquer la propriété et nommer le sommet opposé au diamètre.
4. Traduire l’angle droit en perpendicularité si l’énoncé le demande.

La bonne conclusion

$[EF]$ est un diamètre d’un cercle et $M$ appartient à ce cercle, avec $M$ distinct de $E$ et $F$.

1. Le triangle $EMF$ est inscrit dans le cercle et $[EF]$ en est un diamètre.
2. Il est rectangle en $M$, donc $(ME)$ et $(MF)$ sont perpendiculaires.

Calculer un angle sans rapporteur

$[BC]$ est un diamètre d’un cercle et $A$ est un point de ce cercle tel que $\widehat{ABC}=35^{\circ }$. Calculer $\widehat{ACB}$.

1. Le triangle $ABC$ est inscrit dans le cercle et $[BC]$ en est un diamètre : il est rectangle en $A$.
2. Avec la somme des angles, $\widehat{ACB}=180^{\circ }-90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$.

Propriété

Propriété caractéristique du triangle rectangle

Un triangle est rectangle si et seulement si le milieu de l’un de ses côtés est à égale distance des trois sommets. Ce côté est alors l’hypoténuse, et le triangle est inscrit dans le cercle qui a ce côté pour diamètre.

Propriété

Médiane du triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse : $AO=\frac{BC}{2}$. Inversement, si $O$ est le milieu de $[BC]$ et $AO=\frac{BC}{2}$, alors $ABC$ est rectangle en $A$.

Utiliser la propriété réciproque

Dans un triangle $RST$, $I$ est le milieu de $[ST]$, $ST=12$ cm et $RI=6$ cm.

1. Puisque $SI=IT=6$ cm, on a $RI=SI=IT$.
2. Les points $R$, $S$ et $T$ appartiennent au cercle de centre $I$, et $[ST]$ est un diamètre. Le triangle est rectangle en $R$.

Méthode

Construire à partir de l’hypoténuse

1. Tracer le segment qui sera l’hypoténuse.
2. Construire son milieu à la règle et au compas.
3. Tracer le cercle centré en ce milieu et passant par une extrémité.
4. Choisir le troisième sommet sur le cercle, hors des extrémités, puis relier les points.

Ajouter une longueur imposée

Construire $ABC$ rectangle en $A$ avec $BC=10$ cm et $AB=6$ cm.

1. Tracer le cercle de diamètre $[BC]$, puis le cercle de centre $B$ et de rayon $6$ cm.
2. Une intersection des deux cercles donne $A$. Les deux intersections fournissent deux figures symétriques par rapport à $(BC)$.