Vecteurs et translation 2AC : exercices corrigés

1. Faux : ils sont opposés.
2. Vrai : la longueur fait partie des trois conditions.
3. Faux : il faut aussi la même direction et le même sens.
4. Vrai : sa longueur est nulle.

À retenir : L’égalité de deux vecteurs demande trois conditions.

1. $2$ carreaux à gauche et $3$ vers le haut.
2. Horizontale.
3. $3$ carreaux à droite et $3$ vers le bas.

À retenir : Le vecteur opposé inverse les deux déplacements.

1. $\overrightarrow{HG}$.
2. $\overrightarrow{EH}$.
3. Ils sont opposés.

À retenir : On suit le contour dans le même sens.

1. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
2. Le déplacement opposé à $\overrightarrow{AB}$ : $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$.
3. $D$ est à l’intersection du cercle de centre $C$ et de rayon $AB$ et du cercle de centre $A$ et de rayon $BC$, du bon côté.

À retenir : L’ordre des lettres du parallélogramme fixe le sens des vecteurs.

1. Le milieu de $[EF]$.
2. $\overrightarrow{EF}$.
3. $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EM}$.

À retenir : Au milieu, deux déplacements égaux se suivent.

1. $\overrightarrow{BD}$.
2. $\overrightarrow{AC}$.
3. $\overrightarrow{NR}$.

À retenir : Le point intermédiaire apparaît deux fois, à la jonction.

1. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
2. $\vec{0}$.
3. $\overrightarrow{AD}$.

À retenir : On réordonne les vecteurs pour enchaîner les lettres.

1. $ABCD$.
2. $ABDC$.
3. $EFHG$.

À retenir : $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{ZT}$ signifie que $XYTZ$ est un parallélogramme.

1. $3$ unités vers la droite et $2$ vers le haut.
2. $H(3;7)$.
3. Un parallélogramme, car $\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{EF}$.

À retenir : Une translation applique le même déplacement à tous les points.

1. Par $B$, l’image de $A$.
2. Elle est parallèle à $(d)$.
3. La droite $(AB)$ : chaque point glisse le long d’elle.

À retenir : L’image d’une droite est une droite parallèle.

1. $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{M^{\prime }{M}^{\prime \prime }}=\overrightarrow{BC}$.
2. $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}+\overrightarrow{M^{\prime }{M}^{\prime \prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
3. La translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$.

À retenir : Deux translations successives forment une seule translation, par Chasles.

1. Le déplacement direct du départ à l’arrivée.
2. Est et nord sont perpendiculaires : $\sqrt{9+16}=5$ km.
3. Non : $5$ km, alors que $3+4=7$ km.

À retenir : On additionne les vecteurs, pas les longueurs.

1. Le point $A$.
2. Le point $B$.
3. $\overrightarrow{DC}$.

À retenir : La première lettre est l’origine, la seconde l’extrémité.

1. À $6$ carreaux à droite et $3$ vers le haut de $A$.
2. $5$ fois.

À retenir : Chaque application de $\vec{u}$ ajoute le même déplacement.

1. Oui.
2. Non : cela dépend de l’ordre des points.
3. Le même sens et la même longueur.

À retenir : La direction est celle de la droite, le sens celui du parcours.

1. Oui : c’est un parallélogramme.
2. Non : les diagonales sont de même longueur, mais pas de même direction.
3. Oui.

À retenir : Des segments égaux ne donnent pas forcément des vecteurs égaux.

1. $AECB$.
2. Elles sont parallèles.
3. Ils sont égaux : côtés opposés du parallélogramme.

À retenir : On applique la règle des lettres : $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{ZT}$ donne $XYTZ$.

1. $\vec{0}$ : on revient au point de départ.
2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$.

À retenir : Un trajet fermé donne le vecteur nul.

1. $ACBD$, car ses diagonales $[AB]$ et $[CD]$ ont le même milieu.
2. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$.
3. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$.

À retenir : Des diagonales de même milieu donnent un parallélogramme.

1. Ils sont égaux : c’est le vecteur de la translation.
2. Un parallélogramme.
3. $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$ : la longueur est conservée.

À retenir : Les segments qui joignent un point à son image sont tous égaux.

1. Le point $A$.
2. $3$ cm.
3. Oui : $AO=3$ cm, le rayon.

À retenir : L’image d’un cercle a pour centre l’image du centre.

1. Un parallélogramme : ses diagonales $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu $I$.
2. Ils sont égaux.
3. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$.

À retenir : On remplace un vecteur par un vecteur égal pour enchaîner les lettres.

1. $3-1-2=0$.
2. $2+4-6=0$.
3. $\vec{0}$ : il revient à son point de départ.

À retenir : Les déplacements horizontaux et verticaux s’additionnent séparément.

1. C’est faux sauf si $B$ est sur $[AC]$ : les longueurs ne s’additionnent pas comme les vecteurs.
2. C’est $ABCD$ qui est un parallélogramme.
3. Des longueurs égales ne suffisent pas : il faut aussi la direction et le sens.

À retenir : On distingue toujours un vecteur de sa longueur.