Vecteurs et translation

Lire un déplacement sur un quadrillage

Pour aller de $A$ à $B$, on avance de quatre carreaux à droite et de deux carreaux vers le haut.

1. Le déplacement inverse, de $B$ vers $A$, est de quatre carreaux à gauche et deux vers le bas.
2. Les deux vecteurs sont opposés ; ils ne sont pas égaux.

Propriété

Trois conditions à vérifier

Deux vecteurs non nuls sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Leurs origines peuvent être différentes.

Propriété

Parallélogramme et vecteurs

Si $ABCD$ est un parallélogramme, avec les sommets dans cet ordre, alors $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Inversement, l’égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ caractérise un parallélogramme, éventuellement aplati.

Attention à l’ordre des lettres

Dans le parallélogramme $ABCD$, comparer $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.

1. Les côtés ont la même longueur et des directions parallèles, mais les sens de ces deux vecteurs sont opposés.
2. Le vecteur égal à $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{DC}$, avec les lettres dans cet ordre.

Propriété

Trois façons de reconnaître un parallélogramme

Pour quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$, ces trois affirmations sont équivalentes : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ; $ABCD$ est un parallélogramme, éventuellement aplati ; les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu. On en déduit aussi que $AB=DC$ et que $(AB)\parallel (DC)$.

Méthode

Construire un vecteur égal à partir d’une origine donnée

1. On veut placer le point $D$ tel que $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$.
2. Si $C$ n’est pas sur la droite $(AB)$, tracer par $C$ la parallèle à $(AB)$ et par $B$ la parallèle à $(AC)$.
3. Le point $D$ est l’intersection de ces deux droites : $ABDC$ est un parallélogramme.
4. Contrôler l’ordre des lettres : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ signifie que $ABDC$, dans cet ordre, est un parallélogramme.

Propriété

Enchaîner deux déplacements

Pour tous points $A$, $B$ et $C$, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. C’est la relation de Chasles : le point d’arrivée du premier déplacement est le point de départ du second.

Un détour qui se simplifie

Simplifier $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}$.

1. Les deux premiers vecteurs donnent $\overrightarrow{MP}$.
2. Puis $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{MQ}$.

Somme de deux côtés

Dans un parallélogramme $ABCD$, simplifier $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

1. On remplace $\overrightarrow{AD}$ par son égal $\overrightarrow{BC}$.
2. Chasles donne $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Construire trois fois le même vecteur

Sur un quadrillage, $\overrightarrow{AB}$ correspond à $2$ carreaux vers la droite et $1$ carreau vers le haut. Placer $E$ tel que $\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}$.

1. Placer $C$ tel que $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$, puis $E$ tel que $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}$. Par Chasles, $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{AB}$.
2. À partir de $A$, on avance donc de $6$ carreaux vers la droite et de $3$ carreaux vers le haut. Les points $A$, $B$, $C$ et $E$ sont alignés et $AE=3AB$.

Propriété

Milieu orienté

$I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$. Les deux déplacements se suivent dans le même sens, sur la même droite, avec la même longueur.

Traduire une information

On sait que $\overrightarrow{RK}=\overrightarrow{KS}$. Que représente $K$ ?

1. Cette égalité impose que les deux déplacements se suivent dans la même direction et avec la même longueur.
2. $K$ est donc le milieu du segment $[RS]$.

Méthode

Construction à la règle et au compas

1. Tracer par $M$ la parallèle à $(AB)$.
2. Sur cette droite, reporter la longueur $AB$ dans le sens de $A$ vers $B$.
3. Nommer le point obtenu $M^{\prime }$ et contrôler l’égalité des vecteurs.
4. Si les points ne sont pas alignés, vérifier que $AB{M}^{\prime }M$ forme un parallélogramme.

Déplacer un triangle sur quadrillage

La translation envoie un point $P$ sur un point $Q$ situé trois carreaux à droite et un carreau en bas. Construire l’image de $ABC$.

1. À partir de chaque sommet, effectuer exactement ce déplacement pour obtenir $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ et $C^{\prime }$.
2. Relier les trois images dans le même ordre. Les vecteurs $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ et $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ sont égaux.

Image d’un point de la droite qui porte le vecteur

Sur une droite graduée, les points $A$, $B$ et $M$ ont pour abscisses $1$, $4$ et $6$. Placer l’image $M^{\prime }$ de $M$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.

1. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ avance de $4-1=3$ unités vers la droite.
2. $M^{\prime }$ est sur la même droite, d’abscisse $6+3=9$. Ici, $AB{M}^{\prime }M$ est un parallélogramme aplati : il n’y a pas de parallèle distincte à tracer, on reporte seulement la longueur $AB$ dans le sens de $A$ vers $B$.

Propriété

Une figure de mêmes dimensions

Une translation conserve l’alignement, les longueurs, les angles, le parallélisme, la perpendicularité et les aires. L’image d’un segment est un segment parallèle de même longueur ; l’image d’un cercle est un cercle de même rayon.