Équations et inéquations 3AC : exercices corrigés

1. $x=6,5$.
2. $x=-7$.
3. $x=8\times \frac{3}{2}=12$.
4. $x=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}$.

À retenir : Pour annuler une multiplication par une fraction, on multiplie par son inverse.

1. $x+2=5$, donc $x=3$.
2. $-x+4=9$, donc $x=-5$.
3. $6x-2-4x=10$, soit $2x=12$ et $x=6$.

À retenir : On supprime les parenthèses en respectant les signes, puis on résout.

1. Oui : $2\ge 2$.
2. Non : l’inégalité est stricte.
3. Par exemple $-2$, $-5$ et $-1,5$ ; sur la droite graduée, la zone va vers la gauche, avec un point creux en $-1$.

À retenir : Avec $\le$ ou $\ge$, la borne est une solution ; avec $<$ ou $>$, elle ne l’est pas.

1. $5-x=0$ ou $2x+6=0$ : les solutions sont $5$ et $-3$.
2. Trois facteurs : les solutions sont $0$, $-1$ et $2$.
3. $4x-1=0$ : une seule solution, $\frac{1}{4}$.

À retenir : Chaque facteur donne une équation simple ; un carré nul a un seul facteur à annuler.

1. $(x-3{)}^2=0$ : une seule solution, $3$.
2. $(2x-5)(2x+5)=0$ : les solutions sont $\frac{5}{2}$ et $-\frac{5}{2}$.
3. $9x^2-1=0$, soit $(3x-1)(3x+1)=0$ : les solutions sont $\frac{1}{3}$ et $-\frac{1}{3}$.

À retenir : Les identités remarquables transforment une équation de degré deux en produit nul.

1. En multipliant par $4$ : $3x-8=2x$, donc $x=8$.
2. En multipliant par $15$ : $3x-6=10x+5$, soit $-7x=11$ et $x=-\frac{11}{7}$.
3. En multipliant par $6$ : $2x+6=x+9$, donc $x=3$.

À retenir : Le multiple commun des dénominateurs fait disparaître toutes les fractions d’un coup.

1. $2x>8$, donc $x>4$.
2. La zone va de $4$ vers la droite, avec un point creux en $4$.
3. Non : $2\times 4-3=5$, qui n’est pas strictement supérieur à $5$.

À retenir : La droite graduée montre d’un coup d’œil toutes les solutions et le statut de la borne.

1. $-4x\ge 12$, donc $x\le -3$.
2. En multipliant par $-2$ : $x>-6$.
3. $3-3x>x+11$, soit $-4x>8$, donc $x<-2$.

À retenir : Multiplier par $-2$ ou diviser par $-4$ change le sens de l’inégalité.

1. $3x+1>5x-9$.
2. $10>2x$, donc $x<5$.
3. Pour $x=0$ : $1>-9$, vrai. Pour $x=6$ : $A=19$ et $B=21$, donc $A$ n’est pas plus grand.

À retenir : Un test avec une valeur de chaque côté de la borne confirme le sens trouvé.

1. $3x+3=27$, donc $3x=24$ et $x=8$.
2. $3x+3>30$, donc $x>9$.
3. $8$ cm, $8$ cm et $11$ cm.

À retenir : Une même expression sert à une équation, pour une valeur exacte, et à une inéquation, pour une condition.

1. $41+x=2(11+x)$.
2. $41+x=22+2x$, donc $x=19$.
3. Dans $19$ ans, le père aura $60$ ans et le fils $30$ ans, et $60=2\times 30$.

À retenir : Les deux âges augmentent du même nombre d’années $x$.

1. $(x+3{)}^2-x^2=39$.
2. $x^2+6x+9-x^2=39$, soit $6x=30$ et $x=5$.
3. $8^2-5^2=64-25=39$.

À retenir : Les carrés en $x^2$ s’annulent : l’équation redevient du premier degré.

1. $(-2{)}^2-(-2)-6=4+2-6=0$ : solution.
2. $0-0-6=-6$ : pas solution.
3. $9-3-6=0$ : solution.

À retenir : Remplacer $x$ par une valeur et calculer suffit pour vérifier une solution.

1. $4x=-12$, donc $x=-3$.
2. $2-2x=10$, soit $-2x=8$ et $x=-4$.
3. $6=x$, donc $x=6$.

À retenir : On regroupe les termes en $x$ du côté où leur coefficient reste positif, pour éviter les erreurs de signe.

1. $3x-4\le 11$, donc $3x\le 15$ et $x\le 5$.
2. $2x+1>9$, donc $2x>8$ et $x>4$.

À retenir : « Au plus » donne $\le$, « dépasse » donne $>$.

1. $x=-4$ ou $3-2x=0$ : les solutions sont $-4$ et $\frac{3}{2}$.
2. $x(x+7)=0$ : les solutions sont $0$ et $-7$.
3. Les solutions sont $\frac{3}{2}$ et $-1$.

À retenir : Une équation sans terme constant se factorise par $x$.

1. $x=7$ ou $x=-7$.
2. $x^2=12$, donc $x=2\sqrt{3}$ ou $x=-2\sqrt{3}$.
3. $x^2=-4$ : aucune solution, un carré n’est jamais négatif.
4. $x-2=3$ ou $x-2=-3$ : les solutions sont $5$ et $-1$.

À retenir : Pour $a$ positif, $x^2=a$ a deux solutions opposées, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

1. $3x\le -9$, donc $x\le -3$.
2. $-5x<10$, donc $x>-2$.
3. En multipliant par $6$ : $2x-6\ge 3x$, donc $x\le -6$.

À retenir : On peut multiplier par un multiple commun des dénominateurs, positif : le sens ne change pas.

1. $x>2$ : la zone part de $2$ vers la droite.
2. Non : le point creux l’exclut.
3. Par exemple $3x-6>0$, qui donne $x>2$.

À retenir : Plusieurs inéquations différentes peuvent avoir le même ensemble de solutions.

1. $[(x-1)-(2x+3)][(x-1)+(2x+3)]=(-x-4)(3x+2)$.
2. $-x-4=0$ ou $3x+2=0$ : les solutions sont $-4$ et $-\frac{2}{3}$.
3. $(-5{)}^2=25$ et $(-8+3{)}^2=25$.

À retenir : On ramène tout dans un membre, puis on reconnaît une différence de deux carrés.

1. $600+45n\le 2400$.
2. $45n\le 1800$, donc $n\le 40$.
3. $40$ élèves.

À retenir : Une contrainte de budget se traduit par une inéquation au sens large.

1. $2(x+x+4)=40$, soit $4x+8=40$, donc $x=8$.
2. $8\times 12=96$ cm².
3. $4x+8<50$, donc $x<10,5$.

À retenir : Une même mise en équation donne une valeur exacte ou, avec une inéquation, une condition.

1. $7-a$.
2. $40a+25(7-a)=220$, soit $15a+175=220$, donc $a=3$.
3. $3$ adultes et $4$ enfants : $120+100=220$ DH.

À retenir : Avec un total connu, une seule inconnue suffit : l’autre quantité s’exprime avec elle.

1. $60t$ pour la première, $90(t-1)$ pour la seconde.
2. $60t=90(t-1)$, soit $60t=90t-90$, donc $t=3$ heures.
3. $60\times 3=180$ km.

À retenir : Rattraper, c’est avoir parcouru la même distance au même instant.