Fonctions linéaires et affines 3AC : exercices corrigés

1. $-15$.
2. $10$.
3. $-2$.
4. $-1$.

À retenir : Pour une fonction linéaire, l’image est le produit du nombre par le coefficient.

1. $4x-3=9$, donc $x=3$.
2. $4x=0$, donc $x=0$.
3. $4x=3$, donc $x=0,75$.

À retenir : Pour un antécédent, on résout l’équation $f(x)=$ nombre donné.

1. $f(x)=2x+1$ : affine, non linéaire.
2. $g(x)=3x$ : linéaire.
3. $h(x)=0,25x$ : linéaire.

À retenir : On réduit l’expression avant de reconnaître la forme $ax$ ou $ax+b$.

1. $3a=-2$, donc $a=-\frac{2}{3}$.
2. $-\frac{2}{3}\times (-6)=4$.
3. $-\frac{2}{3}x=1$, donc $x=-1,5$.

À retenir : Le coefficient peut être une fraction : on la garde exacte pour les calculs.

1. $a=\frac{1-7}{2+1}=-2$.
2. $7=2+b$, donc $b=5$ : $f(x)=-2x+5$.
3. $-4+5=1$.

À retenir : Le coefficient d’une fonction affine se calcule comme une pente.

1. $1,1\times 1,1=1,21$ : une hausse de $21$ %.
2. $1,21\times 400=484$ DH.
3. Non : $0,8\times 1,2=0,96$, soit une baisse de $4$ %.

À retenir : Des évolutions successives se composent en multipliant leurs coefficients.

1. $f(0)=1$ et $f(2)=5$.
2. $a=\frac{5-1}{2-0}=2$ et $b=1$ : $f(x)=2x+1$.
3. On lit $1$ ; en effet, $2+1=3$.

À retenir : $f(0)$ se lit à l’intersection avec l’axe des ordonnées : c’est $b$.

1. $f(1)=-1$ : oui.
2. $f(-2)=8$ : oui.
3. $f(0)=2$, et $2\ne -2$ : non.

À retenir : Un point $(x;y)$ est sur la représentation de $f$ quand $y=f(x)$.

1. $(7a+b)-(3a+b)=4a$.
2. $4a=10$, donc $a=2,5$.
3. $f(3)=7,5+b=4$, donc $b=-3,5$.

À retenir : Pour une fonction affine, l’accroissement de $f(x)$ est proportionnel à celui de $x$.

1. $f(x)=4x+25$.
2. $4\times 18+25=97$ DH.
3. $4x+25=113$, donc $x=22$ m³.

À retenir : Une partie fixe plus une partie proportionnelle donne une fonction affine.

1. $d(t)=18t$ : fonction linéaire.
2. $g(t)=15t+12$ : fonction affine.
3. $18t=15t+12$, donc $t=4$ heures, à $72$ km du départ.

À retenir : Deux mouvements réguliers se comparent comme deux fonctions affines.

1. $t(p)=1,2p$.
2. $0,75\times 1,2p=0,9p$.
3. $0,9\times 500=450$ DH : il est $10$ % plus bas que le prix hors taxe.

À retenir : On compose les coefficients multiplicateurs plutôt que d’additionner les pourcentages.

1. $f(-1)=-3$ et $f(0)=-1$.
2. $f(2,5)=5-1=4$.
3. $2x-1=7$, donc $x=4$.

À retenir : Un tableau de valeurs se remplit image par image, en remplaçant $x$.

1. $-2a=6$, donc $a=-3$ et $f(x)=-3x$.
2. $f(5)=-15$.
3. $-3x=3$, donc $x=-1$.

À retenir : Le coefficient d’une fonction linéaire est le quotient d’une image par son antécédent.

1. $k(-3)=4$ et $k(100)=4$.
2. Tous les nombres.
3. Non : aucune image ne vaut $5$.

À retenir : Une fonction constante est affine, de coefficient $a=0$ : sa représentation est horizontale.

1. $3x-4=-x+8$, donc $4x=12$ et $x=3$.
2. $f(3)=5$ et $g(3)=5$.
3. Le point d’intersection des deux représentations graphiques.

À retenir : Résoudre $f(x)=g(x)$, c’est trouver l’abscisse du point commun aux deux droites.

1. $-6+b=1$, donc $b=7$ : $f(x)=-1,5x+7$.
2. $7$.
3. $-1,5x+7=0$, donc $x=\frac{14}{3}$.

À retenir : Le coefficient connu, une seule valeur suffit pour trouver $b$.

1. $\frac{92}{80}=1,15$ : une hausse de $15$ %.
2. $\frac{102}{120}=0,85$ : une baisse de $15$ %.
3. $f(x)=1,15x$.

À retenir : Le coefficient multiplicateur est le quotient du nouveau prix par l’ancien.

1. Celle de $f$, qui passe par l’origine.
2. $f(x)=x$ ; $g$ coupe l’axe des ordonnées en $3$ et descend de $0,5$ par unité : $g(x)=-0,5x+3$.
3. $x=-0,5x+3$, donc $1,5x=3$ et $x=2$ : $K(2;2)$.

À retenir : On lit les expressions sur le graphique, puis on calcule exactement l’intersection.

1. Décroissante, car son coefficient $-2$ est négatif.
2. $5-2x>0$, donc $x<2,5$.
3. $f(-1)=7$ et $f(1)=3$ : $f(-1)>f(1)$, comme le prévoit la décroissance.

À retenir : Le signe de $a$ donne le sens de variation ; une inéquation donne le signe de $f(x)$.

1. $\frac{6}{3}=2$ et $\frac{4}{2}=2$.
2. Les deux quotients sont égaux : oui, avec $a=2$.
3. $3=2+b$, donc $b=1$ : $f(x)=2x+1$.

À retenir : Une fonction est affine quand les accroissements de $f(x)$ sont proportionnels à ceux de $x$.

1. $A(x)=30x$, $B(x)=10x+200$ et $C(x)=600$.
2. $30x=10x+200$ donne $x=10$ ; $10x+200=600$ donne $x=40$.
3. A pour moins de $10$ entrées, B entre $10$ et $40$, C au-delà de $40$.

À retenir : Pour comparer plusieurs offres, on cherche les valeurs où elles s’égalent deux à deux.

1. $a=\frac{15-12}{300}=0,01$ et $b=12$ : $L(m)=0,01m+12$.
2. $4,5+12=16,5$ cm.
3. $0,01m+12=20$, donc $m=800$ g.

À retenir : La longueur à vide est le nombre $b$ ; l’allongement par gramme est le coefficient $a$.

1. $1,8\times 100+32=212$ degrés Fahrenheit.
2. $1,8C+32=98,6$, donc $1,8C=66,6$ et $C=37$ °C.
3. $1,8C+32=C$, donc $0,8C=-32$ et $C=-40$ : $-40$ °C correspond à $-40$ degrés Fahrenheit.

À retenir : Une conversion d’unités de température est une fonction affine.