Inégalité triangulaire et médiatrice d’un segment

Propriété

Inégalité triangulaire

Dans un triangle ABC, chaque longueur est inférieure ou égale à la somme des deux autres : $AB\le AC+CB$. L’inégalité est stricte si les trois points ne sont pas alignés.

Méthode

Tester le plus grand côté

1. Écris les trois longueurs dans la même unité.
2. Repère la plus grande longueur.
3. Additionne les deux autres.
4. Compare : somme plus grande, triangle non aplati ; somme égale, points alignés ; somme plus petite, construction impossible.

Deux côtés connus

Deux côtés mesurent 4 cm et 7 cm. Quelles valeurs peut prendre le troisième côté x pour former un triangle non aplati ?

1. Il faut $x<4+7=11$ et $7<4+x$, donc $x>3$.
2. La condition est $3<x<11$. Les valeurs 3 et 11 correspondent à des cas aplatis.

Méthode

Avec la règle graduée et l’équerre

1. Mesure AB et place son milieu I.
2. Pose un côté de l’angle droit de l’équerre sur (AB).
3. Trace la perpendiculaire passant par I.
4. Code AI = IB et l’angle droit.

Méthode

Au compas, sans mesurer le milieu

1. Choisis une ouverture strictement supérieure à la moitié de AB.
2. Trace deux arcs de centre A, de part et d’autre du segment.
3. Avec la même ouverture, trace deux arcs de centre B qui coupent les premiers en P et Q.
4. Trace la droite (PQ). Elle est la médiatrice de [AB].

Propriété

Propriété directe

Si M appartient à la médiatrice de [AB], alors $MA=MB$. On dit que M est équidistant de A et de B.

Propriété

Propriété réciproque

Si $MA=MB$, alors M appartient à la médiatrice de [AB]. M n’est pas forcément le milieu du segment : il peut être situé ailleurs sur cette droite.

Utiliser une information de position

M est sur la médiatrice de [AB] et MA = 3,8 cm. Calculer MB.

1. La propriété directe donne MA = MB.
2. Donc MB = 3,8 cm. On n’a pas besoin de connaître AB.

Une fontaine entre deux bâtiments

On veut placer une fontaine à égale distance des entrées A et B. Où peut-elle se trouver ?

1. La condition FA = FB place F sur la médiatrice de [AB].
2. Sans autre contrainte, plusieurs emplacements sont possibles. Si la fontaine doit aussi être sur une allée donnée, cherche les points communs de l’allée et de la médiatrice.