Opérations sur les nombres entiers et décimaux
Pour calculer une expression avec des nombres décimaux, on commence par les parenthèses, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions. À priorité égale, on avance de gauche à droite. Ce cours de maths 1AC t’aide à comprendre cet ordre, à poser les opérations et à vérifier ton résultat.
À la fin de ce chapitre, vous saurez
- Lire et comparer des décimaux
- Effectuer les quatre opérations
- Respecter les priorités opératoires
- Utiliser la distributivité dans les deux sens
- Estimer et arrondir un résultat
PrérequisTables de multiplication · Valeur des chiffres · Opérations sur les entiers
Un bon cours, ça se partage.
Pourquoi l’ordre des opérations est-il important ?
Un cahier coûte 8 DH et chacun des trois stylos que tu achètes coûte 4 DH. Les stylos coûtent ensemble 12 DH ; la dépense est donc 20 DH. L’expression traduit cet achat. Additionner 8 et 3 avant de multiplier donnerait 44, ce qui ne correspond pas à la situation.
Lire et comparer des nombres décimaux
Définition
Nombre décimal : Un nombre décimal peut s’écrire comme un entier divisé par 10, 100, 1 000… Il possède une écriture à virgule finie : . Tout entier est aussi décimal : .
| Nombre | Unités | Dixièmes | Centièmes | Millièmes |
|---|---|---|---|---|
| 4,075 | 4 | 0 | 7 | 5 |
| 4,7 | 4 | 7 | 0 | 0 |
Dans 4,075, le chiffre 7 vaut 0,07. La partie après la virgule représente 0,075 unité. Les zéros finaux ne changent pas le nombre : 4,7 = 4,70. En revanche, le zéro placé entre la virgule et le 7 dans 4,075 a un rôle.
Méthode
Comparer sans se tromper
- Compare les parties entières.
- Si elles sont égales, compare les dixièmes, puis les centièmes et les millièmes.
- Complète éventuellement avec des zéros : .
Poser une addition ou une soustraction
Méthode
Aligner les mêmes unités
- Aligne les virgules.
- Complète avec des zéros.
- Calcule colonne par colonne puis reporte la virgule.
Une monnaie à rendre
Tu donnes 20 DH pour un achat à 13,75 DH.
- Écris 20,00 pour poser la soustraction.
- DH.
- Vérifie : .
Multiplier et diviser des décimaux
Méthode
Placer la virgule d’un produit
- Multiplie sans tenir compte des virgules.
- Compte le total des chiffres après la virgule dans les deux facteurs.
- Place autant de chiffres décimaux dans le produit, en ajoutant des zéros si nécessaire.
Un produit inférieur aux facteurs
Calculer .
- . Les deux facteurs ont au total deux chiffres décimaux.
- Le résultat est . Multiplier par un nombre positif inférieur à 1 diminue un nombre positif.
Propriété
Conserver un quotient
Multiplier dividende et diviseur par un même nombre non nul conserve le quotient : . On ne divise jamais par zéro.
Multiplier par 10 donne à chaque chiffre une valeur dix fois plus grande : 3,42 devient 34,2. Diviser 3,42 par 100 donne 0,0342. Pour contrôler la virgule, vérifie si le résultat doit grandir ou diminuer.
Appliquer les priorités opératoires
Méthode
Une ligne, une étape
- Calcule les parenthèses, en commençant par les plus intérieures.
- Effectue produits et quotients de gauche à droite.
- Termine par sommes et différences de gauche à droite.
- Recopie à chaque ligne les opérations qui restent.
Avec et sans parenthèses
Comparer et .
- .
- .
Attention
La multiplication n’est pas prioritaire sur la division : . De même, . Ne rassemble pas les deux derniers nombres sans justification.
Utiliser la distributivité
Propriété
Développer ou regrouper
et . Ces égalités se lisent dans les deux sens.
Calculer de tête
Calculer puis .
- .
- . Le facteur commun est 6.
Arrondir et contrôler son calcul
L’encadrement donne une valeur approchée par défaut, 5,2, et par excès, 5,3, au dixième. L’arrondi au dixième est 5,3, la plus proche. Pour arrondir, regarde le chiffre suivant : de 0 à 4, conserve le chiffre ; de 5 à 9, augmente-le de 1.
Repérer une erreur de virgule
Un élève trouve .
- Le produit doit être voisin de .
- Le résultat annoncé est trop grand. Le calcul exact donne 30,38.
Questions fréquentes
Quelles sont les priorités opératoires en 1AC ?
Comment diviser par un décimal ?
Comment vérifier la place de la virgule ?
À quoi sert la distributivité ?
Quiz : 12 questions sur ce chapitre
12 questions tirées au hasard parmi les 12 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.
Q1Dans 5,032, le chiffre des centièmes est…
Réponse incorrecte
Les centièmes occupent la deuxième position après la virgule.
Bonne réponse : 3
Les centièmes occupent la deuxième position après la virgule.
Q2Quel nombre est égal à 4,5 ?
Réponse incorrecte
Les zéros finaux ne changent pas la valeur d’un décimal.
Bonne réponse : 4,500
Les zéros finaux ne changent pas la valeur d’un décimal.
Q3Que vaut 6 + 2 × 5 ?
Réponse incorrecte
On calcule le produit 2 × 5 = 10, puis on ajoute 6.
Bonne réponse : 16
On calcule le produit 2 × 5 = 10, puis on ajoute 6.
Q4Que vaut (6 + 2) × 5 ?
Réponse incorrecte
La parenthèse donne 8, puis 8 × 5 = 40.
Bonne réponse : 40
La parenthèse donne 8, puis 8 × 5 = 40.
Q5Que vaut 18 ÷ 3 × 2 ?
Réponse incorrecte
On avance de gauche à droite : 18 ÷ 3 = 6, puis 6 × 2 = 12.
Bonne réponse : 12
On avance de gauche à droite : 18 ÷ 3 = 6, puis 6 × 2 = 12.
Q6Que vaut 0,2 × 0,3 ?
Réponse incorrecte
2 × 3 = 6 et le produit doit avoir deux chiffres décimaux.
Bonne réponse : 0,06
2 × 3 = 6 et le produit doit avoir deux chiffres décimaux.
Q75,6 ÷ 0,8 est égal à…
Réponse incorrecte
On multiplie les deux nombres par 10 pour conserver le quotient.
Bonne réponse : 56 ÷ 8
On multiplie les deux nombres par 10 pour conserver le quotient.
Q8Quelle expression vaut 4 × (7 + 3) ?
Réponse incorrecte
La distributivité applique le facteur 4 aux deux termes.
Bonne réponse : 4 × 7 + 4 × 3
La distributivité applique le facteur 4 aux deux termes.
Q9L’arrondi de 2,76 au dixième est…
Réponse incorrecte
Le chiffre des centièmes, 6, conduit à augmenter le chiffre des dixièmes.
Bonne réponse : 2,8
Le chiffre des centièmes, 6, conduit à augmenter le chiffre des dixièmes.
Q1019,8 × 4,9 est proche de…
Réponse incorrecte
Le calcul 20 × 5 = 100 donne un ordre de grandeur.
Bonne réponse : 100
Le calcul 20 × 5 = 100 donne un ordre de grandeur.
Q11Que vaut 7,3 − 2,85 ?
Réponse incorrecte
On aligne les virgules dans 7,30 − 2,85 = 4,45.
Bonne réponse : 4,45
On aligne les virgules dans 7,30 − 2,85 = 4,45.
Q12Peut-on calculer 8 ÷ 0 ?
Réponse incorrecte
Aucun nombre multiplié par zéro ne donne 8.
Bonne réponse : Non
Aucun nombre multiplié par zéro ne donne 8.
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Le chapitre est à revoir en entier
Ne recommencez pas le quiz tout de suite : relisez d'abord tout le cours, en refaisant sur votre cahier chaque exemple guidé au lieu de le lire. Enchaînez avec les exercices « facile », correction masquée, puis revenez ici. C'est en une seule séance de travail que la note change.
À revoir : 12 questions manquées
Dans 5,032, le chiffre des centièmes est…
Bonne réponse3
Les centièmes occupent la deuxième position après la virgule.
Quel nombre est égal à 4,5 ?
Bonne réponse4,500
Les zéros finaux ne changent pas la valeur d’un décimal.
Que vaut 6 + 2 × 5 ?
Bonne réponse16
On calcule le produit 2 × 5 = 10, puis on ajoute 6.
Que vaut (6 + 2) × 5 ?
Bonne réponse40
La parenthèse donne 8, puis 8 × 5 = 40.
Que vaut 18 ÷ 3 × 2 ?
Bonne réponse12
On avance de gauche à droite : 18 ÷ 3 = 6, puis 6 × 2 = 12.
Que vaut 0,2 × 0,3 ?
Bonne réponse0,06
2 × 3 = 6 et le produit doit avoir deux chiffres décimaux.
5,6 ÷ 0,8 est égal à…
Bonne réponse56 ÷ 8
On multiplie les deux nombres par 10 pour conserver le quotient.
Quelle expression vaut 4 × (7 + 3) ?
Bonne réponse4 × 7 + 4 × 3
La distributivité applique le facteur 4 aux deux termes.
L’arrondi de 2,76 au dixième est…
Bonne réponse2,8
Le chiffre des centièmes, 6, conduit à augmenter le chiffre des dixièmes.
19,8 × 4,9 est proche de…
Bonne réponse100
Le calcul 20 × 5 = 100 donne un ordre de grandeur.
Que vaut 7,3 − 2,85 ?
Bonne réponse4,45
On aligne les virgules dans 7,30 − 2,85 = 4,45.
Peut-on calculer 8 ÷ 0 ?
Bonne réponseNon
Aucun nombre multiplié par zéro ne donne 8.
Exercices corrigés
10 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.
Exercice 1
FacileQue vaut le 4 dans 18,406 ? Décompose le nombre.
Correction
Il vaut quatre dixièmes, soit 0,4.
.
Exercice 2
FacileRange 3,8 ; 3,08 ; 3,805 dans l’ordre croissant.
Correction
Compare 3,800 ; 3,080 ; 3,805.
L’ordre est .
Exercice 3
FacileCalcule 7,85 + 2,7 et 12 − 4,68.
Correction
.
; vérifie par l’addition.
Exercice 4
FacileCalcule 2,4 × 0,5 et 8,4 ÷ 0,7.
Correction
; deux décimales donnent 1,20.
.
Exercice 5
MoyenCalcule A = 30 − 4 × 6 + 8 ÷ 2.
Correction
Les opérations prioritaires donnent 24 et 4.
.
Exercice 6
MoyenCalcule B = 3 × [12 − (7 − 3)].
Correction
La parenthèse intérieure donne 4.
.
Exercice 7
MoyenCalcule 25 × 12 et 9 × 13 + 9 × 7 en détaillant.
Correction
.
.
Exercice 8
MoyenEncadre 6,284 au centième et donne son arrondi au centième.
Correction
.
Le chiffre suivant est 4 ; l’arrondi est 6,28.
Exercice 9
DifficileSalma achète quatre cahiers à 6,50 DH et un stylo à 3,75 DH. Elle donne 50 DH. Quelle monnaie reçoit-elle ?
Correction
Dépense : DH.
Monnaie : DH.
Exercice 10
DifficileYanis écrit 36 ÷ 3 × 2 = 36 ÷ 6 = 6. Explique l’erreur.
Correction
À priorité égale, on avance de gauche à droite.
. Le résultat 6 correspondrait à .
Mathématiques 1AC · S1
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