Les quatre opérations sur les nombres rationnels
Dans une expression contenant des nombres rationnels, calcule les parenthèses, puis les produits et quotients, et enfin les sommes et différences. Chaque opération garde sa méthode : dénominateur commun pour additionner, produit des fractions pour multiplier et inverse du diviseur pour diviser. Ce chapitre de 2AC réunit ces outils dans des calculs et des problèmes.
À la fin de ce chapitre, vous saurez
- Choisir la méthode adaptée à chaque opération
- Respecter les priorités dans une expression
- Utiliser une distributivité simple pour calculer efficacement
- Traduire et vérifier un problème à plusieurs étapes
PrérequisSomme et différence des rationnels · Produit, quotient et inverse · Simplification d’une fraction
Un bon cours, ça se partage.
Quelle méthode utiliser pour chaque opération ?
| Opération | Méthode | Exemple |
|---|---|---|
| Addition ou soustraction | Même dénominateur, puis calcul des numérateurs | |
| Multiplication | Numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux | |
| Division | Multiplication par l’inverse du diviseur non nul |
Les mêmes fractions donnent des réponses très différentes selon l’opération. Avant de commencer, entoure le symbole et annonce la règle que tu vas appliquer. Cette habitude évite d’utiliser un dénominateur commun pour tous les calculs ou d’inverser une fraction dans une addition.
Dans quel ordre calculer une expression ?
Méthode
Trois niveaux de priorité
- Calcule l’intérieur des parenthèses, en commençant par les plus intérieures.
- Effectue les produits et quotients de gauche à droite.
- Effectue les sommes et différences de gauche à droite.
- Simplifie les fractions quand cela rend la suite plus facile.
Un produit avant une somme
Calculer .
- Le produit est prioritaire : .
- .
Attention
On ne commence pas systématiquement par la gauche. Dans l’exemple précédent, l’addition est à gauche mais le produit est prioritaire. En revanche, entre deux opérations de même priorité, l’ordre de gauche à droite s’applique.
Que changent les parenthèses ?
Comparer deux expressions
Calculer .
- Les parenthèses imposent l’addition : .
- .
- Cette réponse diffère de celle de A : les parenthèses modifient le calcul demandé.
Utilise une ligne pour chaque transformation importante et recopie les parties qui ne changent pas. Si tu écris seulement un résultat intermédiaire après un signe =, la chaîne d’égalités peut devenir fausse même quand tes petits calculs sont corrects.
Comment traiter des divisions successives ?
De gauche à droite
Calculer .
- .
- .
Pour plusieurs divisions, traite chacune à son tour. La division n’est pas associative : signifie , et non . Quand une barre de fraction contient une expression au numérateur ou au dénominateur, calcule d’abord ces expressions.
Comment calculer un quotient de deux expressions ?
Une barre de fraction principale
Calculer .
- Le numérateur vaut ; le dénominateur vaut , qui est non nul.
- .
Attention
Vérifie le dénominateur complet, pas seulement chaque fraction qu’il contient. Dans , le dénominateur vaut 0 : l’expression est impossible à calculer.
Quand utiliser la distributivité ?
Propriété
Distribuer un facteur
et . On l’utilise ici sur des exemples numériques ; les développements littéraux seront approfondis dans un autre chapitre.
Choisir un calcul court
Calculer .
- En distribuant : .
- En calculant d’abord la parenthèse : . Les deux méthodes concordent.
La distributivité est utile quand le facteur permet de simplifier les fractions. Elle ne permet pas de distribuer une division sur son dénominateur : ne vaut pas . Pour choisir une méthode, compare le nombre d’étapes nécessaires.
Comment traduire un problème à plusieurs étapes ?
Méthode
Organiser la résolution
- Identifie la quantité totale et l’unité de référence de chaque fraction.
- Distingue une fraction du total d’une fraction du reste.
- Écris les calculs dans l’ordre de l’histoire ou une expression avec parenthèses.
- Donne le résultat exact, puis interprète-le avec son unité.
Dépenser une partie du reste
Nour possède 120 DH. Elle dépense les 2/5, puis le 1/3 de ce qui reste. Combien lui reste-t-il ?
- Après la première dépense, il reste du montant initial, soit 72 DH.
- Elle conserve ensuite les de ces 72 DH.
- Le montant final vaut DH.
On ne peut pas calculer pour cet énoncé : les deux fractions ne portent pas sur le même montant. Le deuxième tiers concerne les 72 DH restants. Cette différence de référence est une difficulté centrale des problèmes de fractions.
Comment contrôler un calcul composé ?
Prévois d’abord un signe ou une taille plausible. Dans un partage, la part restante ne doit pas dépasser le total. Vérifie ensuite une étape par une autre méthode : un dénominateur différent, une simplification plus précoce ou l’opération inverse. La calculatrice sert de contrôle ; une valeur décimale arrondie ne remplace pas une fraction exacte.
| Erreur fréquente | Réflexe utile |
|---|---|
| Additionner avant un produit | Repérer l’opération prioritaire. |
| Retourner les deux fractions dans une division | Conserver le dividende. |
| Simplifier un terme d’une somme | Calculer ou factoriser avant de simplifier. |
| Oublier l’unité de référence | Écrire « du total » ou « du reste ». |
Questions fréquentes
Quel est l’ordre des opérations sur les rationnels ?
Comment calculer une fraction à étages avec des sommes ?
Comment calculer une fraction du reste ?
Comment éviter les erreurs dans les calculs de fractions ?
Quiz : 12 questions sur ce chapitre
12 questions tirées au hasard parmi les 12 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.
Q1Dans 1/2 + 2/3 × 3/4, on commence par…
Réponse incorrecte
La multiplication est prioritaire sur l’addition en l’absence de parenthèses.
Bonne réponse : le produit
La multiplication est prioritaire sur l’addition en l’absence de parenthèses.
Q2(1/2 + 1/4) × 2 vaut…
Réponse incorrecte
La parenthèse vaut 3/4 ; multiplier par 2 donne 3/2.
Bonne réponse : 3/2
La parenthèse vaut 3/4 ; multiplier par 2 donne 3/2.
Q31 − 1/2 × 1/3 vaut…
Réponse incorrecte
Le produit vaut 1/6, puis 1 − 1/6 = 5/6.
Bonne réponse : 5/6
Le produit vaut 1/6, puis 1 − 1/6 = 5/6.
Q41/2 ÷ 1/4 + 1 vaut…
Réponse incorrecte
La division donne 2, puis on ajoute 1.
Bonne réponse : 3
La division donne 2, puis on ajoute 1.
Q5Pour 2/3 ÷ 1/2 × 3/4, on calcule…
Réponse incorrecte
Division et multiplication sont de même priorité ; aucune parenthèse ne modifie l’ordre.
Bonne réponse : de gauche à droite
Division et multiplication sont de même priorité ; aucune parenthèse ne modifie l’ordre.
Q66 × (1/2 + 1/3) vaut…
Réponse incorrecte
En distribuant, on obtient 3 + 2 = 5.
Bonne réponse : 5
En distribuant, on obtient 3 + 2 = 5.
Q7Le dénominateur 1 − 2/2 vaut…
Réponse incorrecte
2/2 vaut 1 ; la différence vaut zéro et ne peut pas être un diviseur.
Bonne réponse : 0
2/2 vaut 1 ; la différence vaut zéro et ne peut pas être un diviseur.
Q8Un tiers du reste signifie…
Réponse incorrecte
La quantité de référence est le reste, qu’il faut déterminer en premier.
Bonne réponse : un tiers de la quantité encore disponible
La quantité de référence est le reste, qu’il faut déterminer en premier.
Q91/(2 + 3) vaut…
Réponse incorrecte
La barre de fraction regroupe tout le dénominateur : on calcule d’abord 2 + 3.
Bonne réponse : 1/5
La barre de fraction regroupe tout le dénominateur : on calcule d’abord 2 + 3.
Q10Dans −2/3 + 1/3, il faut…
Réponse incorrecte
Les fractions ont déjà le même dénominateur, donc −2 + 1 donne −1.
Bonne réponse : additionner les numérateurs signés
Les fractions ont déjà le même dénominateur, donc −2 + 1 donne −1.
Q11Une fraction exacte peut être remplacée sans erreur par…
Réponse incorrecte
Une fraction équivalente garde la valeur exacte, contrairement à un arrondi éventuel.
Bonne réponse : une fraction égale
Une fraction équivalente garde la valeur exacte, contrairement à un arrondi éventuel.
Q12Après avoir dépensé 1/4 d’une somme, il reste…
Réponse incorrecte
Le complément à l’unité vaut 1 − 1/4 = 3/4.
Bonne réponse : 3/4 du total
Le complément à l’unité vaut 1 − 1/4 = 3/4.
Votre note
0/12
Le chapitre est à revoir en entier
Ne recommencez pas le quiz tout de suite : relisez d'abord tout le cours, en refaisant sur votre cahier chaque exemple guidé au lieu de le lire. Enchaînez avec les exercices « facile », correction masquée, puis revenez ici. C'est en une seule séance de travail que la note change.
À revoir : 12 questions manquées
Dans 1/2 + 2/3 × 3/4, on commence par…
Bonne réponsele produit
La multiplication est prioritaire sur l’addition en l’absence de parenthèses.
(1/2 + 1/4) × 2 vaut…
Bonne réponse3/2
La parenthèse vaut 3/4 ; multiplier par 2 donne 3/2.
1 − 1/2 × 1/3 vaut…
Bonne réponse5/6
Le produit vaut 1/6, puis 1 − 1/6 = 5/6.
1/2 ÷ 1/4 + 1 vaut…
Bonne réponse3
La division donne 2, puis on ajoute 1.
Pour 2/3 ÷ 1/2 × 3/4, on calcule…
Bonne réponsede gauche à droite
Division et multiplication sont de même priorité ; aucune parenthèse ne modifie l’ordre.
6 × (1/2 + 1/3) vaut…
Bonne réponse5
En distribuant, on obtient 3 + 2 = 5.
Le dénominateur 1 − 2/2 vaut…
Bonne réponse0
2/2 vaut 1 ; la différence vaut zéro et ne peut pas être un diviseur.
Un tiers du reste signifie…
Bonne réponseun tiers de la quantité encore disponible
La quantité de référence est le reste, qu’il faut déterminer en premier.
1/(2 + 3) vaut…
Bonne réponse1/5
La barre de fraction regroupe tout le dénominateur : on calcule d’abord 2 + 3.
Dans −2/3 + 1/3, il faut…
Bonne réponseadditionner les numérateurs signés
Les fractions ont déjà le même dénominateur, donc −2 + 1 donne −1.
Une fraction exacte peut être remplacée sans erreur par…
Bonne réponseune fraction égale
Une fraction équivalente garde la valeur exacte, contrairement à un arrondi éventuel.
Après avoir dépensé 1/4 d’une somme, il reste…
Bonne réponse3/4 du total
Le complément à l’unité vaut 1 − 1/4 = 3/4.
Exercices corrigés
10 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.
Exercice 1
FacileDans , quelle opération faut-il effectuer d’abord ? Calcule.
Correction
Le produit est prioritaire et vaut .
La somme vaut .
Exercice 2
FacileCalcule .
Correction
La parenthèse vaut .
.
Exercice 3
FacileCalcule .
Correction
Le produit vaut .
.
Exercice 4
FacileCalcule .
Correction
Le quotient vaut .
La somme vaut .
Exercice 5
MoyenCalcule .
Correction
Le produit vaut .
La somme est .
Exercice 6
MoyenCalcule .
Correction
La première parenthèse vaut , la seconde vaut 1.
Le quotient est donc . Le diviseur est bien non nul.
Exercice 7
MoyenCalcule en distribuant.
Correction
et .
La différence vaut .
Exercice 8
MoyenPeut-on calculer ? Justifie.
Correction
Le dénominateur vaut .
Non : l’expression demande une division par zéro.
Exercice 9
DifficileCompare et .
Correction
, en calculant de gauche à droite.
Dans B, la parenthèse vaut , donc . Les deux expressions diffèrent.
Exercice 10
DifficileUne réserve contient 150 L. On utilise les 2/5 de l’eau, puis le 1/3 du reste. Quelle quantité reste-t-il ?
Correction
Après la première utilisation : L.
Après la seconde : L. La quantité totale utilisée est 90 L.