Somme et différence des nombres rationnels
Pour additionner ou soustraire des nombres rationnels, écris-les avec un même dénominateur, puis calcule avec leurs numérateurs. Le dénominateur commun reste inchangé. Par exemple, 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Ce cours de 2AC explique aussi comment gérer les nombres négatifs et les parenthèses.
À la fin de ce chapitre, vous saurez
- Trouver un dénominateur commun adapté
- Additionner et soustraire des fractions signées
- Calculer une somme algébrique de rationnels
- Résoudre un problème de partage ou de variation
PrérequisFractions égales et simplification · Opposé d’un nombre relatif · Multiples des petits entiers
Un bon cours, ça se partage.
Pourquoi faut-il un dénominateur commun ?
On peut additionner trois sixièmes et deux sixièmes parce que les parts ont la même taille. On ne peut pas compter directement un demi et un tiers comme deux parts identiques. Il faut d’abord exprimer les deux quantités dans une même unité de fraction.
Définition
Dénominateur commun : C’est un même dénominateur choisi pour écrire plusieurs fractions égales aux fractions de départ. On le choisit positif pour simplifier la gestion des signes.
Comment calculer avec le même dénominateur ?
Propriété
Addition et soustraction
Pour , et . Seuls les numérateurs s’additionnent ou se soustraient.
Numérateurs signés
Calculer puis .
- .
- . On simplifie le résultat.
Attention
On n’additionne pas les dénominateurs : , et non . Le dénominateur décrit la taille des parts, pas leur nombre.
Comment choisir le dénominateur commun ?
Méthode
Chercher un multiple commun simple
- Si un dénominateur est multiple de l’autre, choisis le plus grand.
- Sinon, cherche un petit multiple commun dans les tables.
- Le produit des deux dénominateurs fonctionne toujours, même s’il n’est pas le plus petit.
- Multiplie le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le même facteur.
| Dénominateurs | Choix pratique | Raison |
|---|---|---|
| 4 et 12 | 12 | 12 est un multiple de 4. |
| 6 et 8 | 24 | 24 est un multiple commun. |
| 5 et 7 | 35 | Le produit 5 × 7 convient. |
Deux dénominateurs différents
Calculer .
- et .
- La somme vaut .
Trouver le plus petit dénominateur commun facilite souvent les calculs, mais n’est pas obligatoire. Avec 24 au lieu de 12, on aurait obtenu , qui se simplifie aussi en . L’essentiel est de conserver la valeur de chaque fraction.
Comment soustraire une fraction négative ?
Propriété
Ajouter l’opposé
Soustraire un rationnel revient à ajouter son opposé. Ainsi, , avec b et d non nuls.
Deux signes moins
Calculer .
- On transforme la soustraction : .
- On met au même dénominateur : .
Le mot « opposé » concerne le signe. L’opposé de est , pas . Échanger le numérateur et le dénominateur correspond à une autre notion, l’inverse, utilisée dans les quotients.
Comment additionner un entier et une fraction ?
Transformer l’entier
Calculer .
- Écris , car .
- .
Un entier est une fraction de dénominateur 1. Pour l’écrire avec le dénominateur b, multiplie-le par b au numérateur. Par exemple, . Écrire à la place de −3 changerait la valeur du nombre.
Comment traiter une somme algébrique et des parenthèses ?
Méthode
Conserver chaque signe
- Transforme les soustractions simples en additions de l’opposé si cela t’aide.
- Pour une parenthèse précédée de +, conserve les signes des termes.
- Pour une parenthèse précédée de −, change le signe de chaque terme quand tu supprimes la parenthèse.
- Réduis au même dénominateur, calcule les numérateurs et simplifie.
Soustraction d’une parenthèse
Calculer .
- Dans les parenthèses : .
- .
- On pouvait aussi écrire : le dernier signe devient +.
Attention
Dans une suite de différences, on ne regroupe pas librement : est différent de . Sans parenthèses, les soustractions se calculent de gauche à droite.
Résoudre un problème de fractions
Une lecture en deux jours
Salma lit les 2/5 d’un livre lundi et le 1/4 du même livre mardi. Quelle fraction reste à lire ?
- La fraction lue est .
- Le livre entier correspond à .
- Il reste du livre.
Vérifie que les fractions parlent du même tout. « Un quart du livre » et « un quart des pages restantes » ne représentent pas la même quantité. Surligne l’unité de référence dans l’énoncé avant de choisir ton calcul.
Vérifier le résultat et corriger ses erreurs
Contrôle le signe, puis la taille de la réponse. Deux fractions positives ont une somme supérieure à chacune d’elles. Une quantité restante doit être comprise entre 0 et 1 dans un partage de l’unité. Vérifie enfin que tu as simplifié et que tes égalités sont exactes.
Questions fréquentes
Comment additionner deux rationnels de dénominateurs différents ?
Pourquoi ne faut-il pas additionner les dénominateurs ?
Comment soustraire une fraction négative ?
Faut-il toujours choisir le plus petit dénominateur commun ?
Quiz : 12 questions sur ce chapitre
12 questions tirées au hasard parmi les 12 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.
Q11/7 + 3/7 vaut…
Réponse incorrecte
Les parts sont des septièmes ; on en prend quatre au total.
Bonne réponse : 4/7
Les parts sont des septièmes ; on en prend quatre au total.
Q2Un dénominateur commun à 6 et 9 est…
Réponse incorrecte
18 est un multiple de 6 et de 9 ; 3 ne peut pas être obtenu en multipliant chacun par un entier positif.
Bonne réponse : 18
18 est un multiple de 6 et de 9 ; 3 ne peut pas être obtenu en multipliant chacun par un entier positif.
Q31/2 + 1/4 vaut…
Réponse incorrecte
Un demi vaut deux quarts, donc 2/4 + 1/4 = 3/4.
Bonne réponse : 3/4
Un demi vaut deux quarts, donc 2/4 + 1/4 = 3/4.
Q4−2/5 + 1/5 vaut…
Réponse incorrecte
Au même dénominateur, le numérateur vaut −2 + 1 = −1.
Bonne réponse : −1/5
Au même dénominateur, le numérateur vaut −2 + 1 = −1.
Q53/8 − (−1/8) vaut…
Réponse incorrecte
On ajoute l’opposé : 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2.
Bonne réponse : 1/2
On ajoute l’opposé : 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2.
Q62 écrit en tiers vaut…
Réponse incorrecte
Il faut six tiers pour faire deux unités.
Bonne réponse : 6/3
Il faut six tiers pour faire deux unités.
Q71 − 5/6 vaut…
Réponse incorrecte
Une unité vaut 6/6 ; on soustrait ensuite les numérateurs.
Bonne réponse : 1/6
Une unité vaut 6/6 ; on soustrait ensuite les numérateurs.
Q8−(1/2 − 1/3) devient…
Réponse incorrecte
Le moins placé devant la parenthèse change le signe de chacun de ses termes.
Bonne réponse : −1/2 + 1/3
Le moins placé devant la parenthèse change le signe de chacun de ses termes.
Q95/12 − 1/3 vaut…
Réponse incorrecte
1/3 vaut 4/12, donc la différence vaut 1/12.
Bonne réponse : 1/12
1/3 vaut 4/12, donc la différence vaut 1/12.
Q10La somme de deux rationnels opposés est…
Réponse incorrecte
Un nombre et son opposé se compensent exactement.
Bonne réponse : 0
Un nombre et son opposé se compensent exactement.
Q111/6 + 1/3 vaut…
Réponse incorrecte
On écrit 1/3 = 2/6, puis 3/6 = 1/2.
Bonne réponse : 1/2
On écrit 1/3 = 2/6, puis 3/6 = 1/2.
Q12Avant d’additionner des fractions dans un problème, il faut vérifier…
Réponse incorrecte
Des fractions de quantités de référence différentes ne s’additionnent pas directement.
Bonne réponse : qu’elles décrivent le même tout
Des fractions de quantités de référence différentes ne s’additionnent pas directement.
Votre note
0/12
Le chapitre est à revoir en entier
Ne recommencez pas le quiz tout de suite : relisez d'abord tout le cours, en refaisant sur votre cahier chaque exemple guidé au lieu de le lire. Enchaînez avec les exercices « facile », correction masquée, puis revenez ici. C'est en une seule séance de travail que la note change.
À revoir : 12 questions manquées
1/7 + 3/7 vaut…
Bonne réponse4/7
Les parts sont des septièmes ; on en prend quatre au total.
Un dénominateur commun à 6 et 9 est…
Bonne réponse18
18 est un multiple de 6 et de 9 ; 3 ne peut pas être obtenu en multipliant chacun par un entier positif.
1/2 + 1/4 vaut…
Bonne réponse3/4
Un demi vaut deux quarts, donc 2/4 + 1/4 = 3/4.
−2/5 + 1/5 vaut…
Bonne réponse−1/5
Au même dénominateur, le numérateur vaut −2 + 1 = −1.
3/8 − (−1/8) vaut…
Bonne réponse1/2
On ajoute l’opposé : 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2.
2 écrit en tiers vaut…
Bonne réponse6/3
Il faut six tiers pour faire deux unités.
1 − 5/6 vaut…
Bonne réponse1/6
Une unité vaut 6/6 ; on soustrait ensuite les numérateurs.
−(1/2 − 1/3) devient…
Bonne réponse−1/2 + 1/3
Le moins placé devant la parenthèse change le signe de chacun de ses termes.
5/12 − 1/3 vaut…
Bonne réponse1/12
1/3 vaut 4/12, donc la différence vaut 1/12.
La somme de deux rationnels opposés est…
Bonne réponse0
Un nombre et son opposé se compensent exactement.
1/6 + 1/3 vaut…
Bonne réponse1/2
On écrit 1/3 = 2/6, puis 3/6 = 1/2.
Avant d’additionner des fractions dans un problème, il faut vérifier…
Bonne réponsequ’elles décrivent le même tout
Des fractions de quantités de référence différentes ne s’additionnent pas directement.
Exercices corrigés
10 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.
Exercice 1
FacileCalcule et .
Correction
La somme vaut .
La différence vaut .
Exercice 2
FacileCalcule .
Correction
On écrit .
La somme est .
Exercice 3
FacileCalcule .
Correction
Au dénominateur 15 : .
On obtient , déjà irréductible.
Exercice 4
FacileCalcule .
Correction
Soustraire revient à ajouter .
.
Exercice 5
MoyenCalcule .
Correction
, donc la somme vaut .
Après simplification, le résultat est .
Exercice 6
MoyenCalcule .
Correction
L’entier −2 devient .
.
Exercice 7
MoyenCalcule .
Correction
Avec le dénominateur 24 : .
Le résultat est .
Exercice 8
MoyenCalcule .
Correction
La parenthèse vaut .
.
Exercice 9
DifficileAmine affirme . Corrige et explique son erreur.
Correction
Il a additionné les dénominateurs, alors que les parts n’ont pas la même taille.
Le dénominateur commun 12 donne .
Exercice 10
DifficileLes 3/8 d’un jardin portent des tomates et les 1/3 du même jardin des carottes, sur des zones distinctes. Quelle fraction reste disponible ?
Correction
La partie occupée est .
Il reste du jardin. Le résultat est bien entre 0 et 1.