Proportionnalité

Contrôler toutes les colonnes

Les masses $2$, $5$ et $8$ kg coûtent respectivement $17$, $42,5$ et $68$ DH.

1. Les quotients sont $\frac{17}{2}=8,5$, $\frac{42,5}{5}=8,5$ et $\frac{68}{8}=8,5$.
2. Le coefficient est constant : les données sont proportionnelles, au tarif de $8,5$ DH/kg.

Un exemple de physique-chimie

Un bloc d’aluminium de $1$ cm³ a une masse de $2,7$ g. Quelle est la masse de $40$ cm³ du même métal ?

1. Pour un même matériau, la masse est proportionnelle au volume : $m=2,7\times V$.
2. $m=2,7\times 40=108$ g. Le coefficient $2,7$ g/cm³ est la masse volumique de l’aluminium.

Méthode

Choisir le calcul le plus simple

1. Passage par l’unité : calculer la valeur correspondant à une unité.
2. Coefficient : multiplier toutes les valeurs par le même nombre.
3. Linéarité : additionner des colonnes ou multiplier une colonne entière.
4. Produits en croix : écrire l’égalité des produits, puis isoler la valeur manquante.

Propriété

Produits en croix

Si les couples $(a,b)$ et $(c,d)$ appartiennent au même tableau proportionnel, alors $ad=bc$. Pour calculer $d$, on peut écrire $d=\frac{bc}{a}$ si $a\ne 0$.

Une commande de cahiers

Six cahiers coûtent $45$ DH. Combien coûtent dix cahiers au même prix unitaire ?

1. Le passage par l’unité donne $\frac{45}{6}=7,5$ DH par cahier.
2. Dix cahiers coûtent $75$ DH. Les produits en croix donnent aussi $6p=45\times 10$, soit $p=75$.

Propriété

Droite et origine

Les points représentant une situation de proportionnalité sont alignés avec l’origine du repère. Réciproquement, une relation représentée par une droite passant par l’origine est une relation de proportionnalité.

Méthode

Représenter une proportionnalité dans un repère

1. Tracer deux axes gradués régulièrement et nommer chaque grandeur avec son unité.
2. Placer les points dont les coordonnées sont les couples du tableau, par exemple $(1;8)$, $(2;16)$ et $(3;24)$.
3. Vérifier qu’ils sont alignés avec l’origine $O(0;0)$.
4. Tracer la droite qui passe par $O$ et par ces points, puis l’utiliser pour lire d’autres valeurs.

Lire le coefficient sur le graphique

Une droite passant par l’origine contient le point de coordonnées $(5;35)$. L’abscisse est une durée en heures, l’ordonnée une distance en kilomètres.

1. Le coefficient vaut $\frac{\text{ordonneˊe}}{\text{abscisse}}=\frac{35}{5}=7$.
2. La distance est proportionnelle à la durée, au coefficient $7$ km/h. Pour $3$ h, on lit ou on calcule $3\times 7=21$ km.

Propriété

Une formule pour la proportionnalité

Si $y$ est proportionnel à $x$ avec le coefficient $k$, alors $y=kx$ pour tous les couples $(x;y)$. En 3AC, cette relation sera étudiée comme la fonction linéaire $x\mapsto kx$ ; sa représentation graphique est la droite passant par l’origine décrite ici.

Une droite qui ne suffit pas

Un graphique de prix passe par les points $(0;12)$, $(1;17)$ et $(2;22)$.

1. Les points sont alignés, mais la droite ne passe pas par $(0;0)$.
2. Le prix n’est pas proportionnel à la quantité : une somme fixe de $12$ est présente.

Distinguer remise et prix payé

Une veste coûte $320$ DH avant une remise de $15\%$.

1. La remise est $\frac{320\times 15}{100}=48$ DH.
2. Le prix payé est $320-48=272$ DH. On peut aussi multiplier le prix initial par $1-\frac{15}{100}=0,85$.

Calculer une hausse

Un abonnement passe de $80$ à $92$ DH. Quel est le taux d’augmentation ?

1. L’augmentation vaut $92-80=12$ DH.
2. On la rapporte au prix initial : $\frac{12}{80}\times 100=15\%$. Diviser par $92$ ne répondrait pas à la même question.

Retrouver le prix avant remise

Après une remise de $20\%$, un article coûte $240$ DH. Quel était son prix initial ?

1. Le prix payé représente $100\%-20\%=80\%$ du prix initial $p$ : $240=0,8\times p$.
2. $p=\frac{240}{0,8}=300$ DH. Ajouter $20\%$ de $240$ donnerait $288$ DH, ce qui est faux : la remise se calcule sur le prix initial.

Propriété

Rapport de deux longueurs

Une échelle est le rapport $\frac{\text{longueur dessineˊe}}{\text{longueur reˊelle}}$, les deux longueurs étant dans la même unité. À l’échelle $\frac{1}{500}$, un centimètre sur le plan représente $500$ cm, donc $5$ m dans la réalité.

Passer du plan au terrain

Une allée mesure $7,2$ cm sur un plan à l’échelle $\frac{1}{500}$.

1. La longueur réelle est $7,2\times 500=3600$ cm.
2. L’allée mesure donc $36$ m.

Propriété

Vitesse moyenne et mouvement uniforme

La vitesse moyenne est $v=\frac{d}{t}$, avec $t>0$. À vitesse constante, la distance est proportionnelle à la durée : $d=vt$. On peut aussi calculer $t=\frac{d}{v}$ si $v>0$. En km/h, la distance est en kilomètres et la durée en heures.

Une durée qui n’est pas décimale

Un cycliste parcourt $21$ km en $1$ h $15$ min.

1. $15$ min valent $\frac{15}{60}=0,25$ h, donc la durée totale vaut $1,25$ h.
2. La vitesse moyenne est $\frac{21}{1,25}=16,8$ km/h.