Équations

Tester une valeur

$4$ est-il solution de $3x+2=14$ ?

1. En remplaçant $x$ par $4$, le premier membre vaut $3\times 4+2=14$.
2. Les deux membres valent $14$ : $4$ est une solution.

Propriété

Transformer les deux membres

On conserve les solutions en ajoutant ou soustrayant le même nombre aux deux membres. On peut aussi les multiplier ou les diviser par un même nombre non nul. Le nombre zéro ne permet pas une division.

Les inconnues sont dans les deux membres

Résoudre $5x-7=2x+8$.

1. Soustraire $2x$ : $3x-7=8$. Ajouter $7$ : $3x=15$.
2. Diviser par $3$ : $x=5$. Vérification : $25-7=18$ et $10+8=18$.

Méthode

Rédiger une résolution complète

1. Recopier l’équation, puis écrire une seule transformation par ligne.
2. Préciser l’opération faite sur les deux membres quand elle n’est pas évidente, par exemple « on soustrait $2x$ aux deux membres ».
3. Continuer jusqu’à une ligne de la forme $x=5$.
4. Conclure par une phrase : « La solution de l’équation est $5$ », puis vérifier dans l’équation de départ.

Méthode

Une démarche fiable

1. Développer les parenthèses et réduire chaque membre.
2. Regrouper les termes en $x$ dans un membre en effectuant la même soustraction des deux côtés.
3. Regrouper les constantes dans l’autre membre.
4. Diviser par le coefficient non nul de l’inconnue.
5. Vérifier dans l’équation initiale, avant toute transformation.

Un facteur négatif

Résoudre $-2(x-3)=x+9$.

1. Développer : $-2x+6=x+9$. Soustraire $x$ puis $6$ : $-3x=3$.
2. On trouve $x=-1$. Dans l’égalité initiale, $-2(-1-3)=8$ et $-1+9=8$.

Un multiple commun bien utilisé

Résoudre $\frac{x-1}{3}+\frac{x+2}{6}=4$.

1. Multiplier toute l’égalité par $6$ : $2(x-1)+(x+2)=24$.
2. Réduire : $3x=24$, donc $x=8$. Vérification : $\frac{7}{3}+\frac{10}{6}=\frac{7}{3}+\frac{5}{3}=4$.

Des coefficients décimaux

Résoudre $0,5x+1,2=2,7$.

1. Multiplier les deux membres par $10$ : $5x+12=27$.
2. Donc $5x=15$ et $x=3$. Vérification : $0,5\times 3+1,2=1,5+1,2=2,7$. La solution de l’équation est $3$.

Méthode

Passer de la phrase au calcul

1. Choisir l’inconnue et préciser ce qu’elle représente, avec son unité.
2. Exprimer les autres quantités en fonction de cette inconnue.
3. Traduire la relation du problème par une égalité, puis résoudre.
4. Vérifier que la valeur respecte le contexte et rédiger une phrase de réponse.

Une visite de musée

Un groupe paie $360$ DH : $60$ DH de frais fixes et $25$ DH par élève. Combien y a-t-il d’élèves ?

1. Si $n$ est le nombre d’élèves, $25n+60=360$.
2. $25n=300$, donc $n=12$. Le groupe comprend $12$ élèves ; $25\times 12+60=360$.

Une longueur inconnue

Un rectangle de largeur $x$ cm a une longueur de $x+4$ cm et un périmètre de $32$ cm.

1. $2x+2(x+4)=32$, donc $4x+8=32$.
2. $x=6$. La largeur vaut $6$ cm et la longueur $10$ cm ; toutes deux sont positives.

Un problème d’âges

Un père a $41$ ans et son fils $9$ ans. Dans combien d’années l’âge du père sera-t-il le triple de celui du fils ?

1. Si $x$ est le nombre d’années, le père aura $41+x$ ans et le fils $9+x$ ans : $41+x=3(9+x)$.
2. On développe : $41+x=27+3x$, donc $14=2x$ et $x=7$. Dans $7$ ans, le père aura $48$ ans et le fils $16$ ans ; on a bien $48=3\times 16$.

Quand l’inconnue disparaît

Comparer $2(x+3)=2x+7$ et $2(x+3)=2x+6$.

1. La première se réduit à $6=7$ : elle n’a aucune solution.
2. La seconde se réduit à $6=6$ : toutes les valeurs de $x$ conviennent. On ne doit jamais diviser par un coefficient devenu nul.