Ordre et opérations

Propriété

Le signe de la différence

Si $a-b<0$, alors $a<b$ ; si $a-b=0$, alors $a=b$ ; si $a-b>0$, alors $a>b$. Comparer deux nombres revient donc à étudier le signe de leur différence.

Deux nombres négatifs

Comparer $-\frac{5}{6}$ et $-\frac{3}{4}$.

1. Avec le dénominateur positif $12$, les nombres s’écrivent $-\frac{10}{12}$ et $-\frac{9}{12}$.
2. Comme $-10<-9$, on obtient $-\frac{5}{6}<-\frac{3}{4}$.

Propriété

Comparer deux fractions par les produits en croix

Si $b>0$ et $d>0$, alors $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ équivaut à $ad<bc$. En effet, au dénominateur commun positif $bd$, on compare $\frac{ad}{bd}$ et $\frac{bc}{bd}$.

Sans chercher le dénominateur commun

Comparer $\frac{7}{9}$ et $\frac{4}{5}$.

1. Les produits en croix valent $7\times 5=35$ et $9\times 4=36$.
2. Comme $35<36$, on a $\frac{7}{9}<\frac{4}{5}$. Contrôle à la calculatrice : $0,777\dots <0,8$.

Propriété

Même ajout dans les deux membres

Si $a<b$, alors $a+c<b+c$ pour tout nombre $c$. Soustraire le même nombre est un cas particulier, car soustraire $c$ revient à ajouter $-c$. La règle vaut aussi pour les inégalités larges.

Décaler une comparaison

On sait que $x<7$. Encadrer $x-4$ par une borne supérieure.

1. On soustrait $4$ dans les deux membres.
2. On obtient $x-4<3$. Le signe n’a pas changé.

Comparer les opposés

On part de $-2<3$. Multiplier les deux membres par $-2$.

1. Les produits sont $4$ et $-6$.
2. La comparaison correcte est $4>-6$. Le facteur négatif a inversé le sens.

Méthode

Transformer un double encadrement

1. Effectuer la même addition dans les trois parties si nécessaire.
2. Avec un facteur positif, multiplier les trois parties en gardant l’ordre.
3. Avec un facteur négatif, multiplier puis réécrire les bornes dans l’ordre croissant.
4. Vérifier le résultat avec une valeur située dans l’encadrement initial.

Un coefficient négatif

Sachant $2<x<5$, encadrer $-3x+1$.

1. Multiplier par $-3$ donne $-6>-3x>-15$, soit $-15<-3x<-6$.
2. Ajouter $1$ donne $-14<-3x+1<-5$.

Somme et différence

Si $1<a<3$ et $4<b<7$, encadrer $a+b$ puis $a-b$.

1. En additionnant, $5<a+b<10$.
2. Comme $-7<-b<-4$, l’addition donne $-6<a-b<-1$.

Encadrer un quotient avec la calculatrice

Encadrer $\frac{22}{7}$ au centième, puis donner son arrondi.

1. La calculatrice affiche $3,142857\dots$, donc $3,14<\frac{22}{7}<3,15$.
2. Valeur par défaut : $3,14$ ; valeur par excès : $3,15$. Le chiffre des millièmes est $2$, donc l’arrondi au centième est $3,14$.

Quand l’arrondi est la valeur par excès

Encadrer $\frac{5}{3}$ au centième et donner son arrondi.

1. $\frac{5}{3}=1,6666\dots$, donc $1,66<\frac{5}{3}<1,67$.
2. Le chiffre des millièmes est $6$ : l’arrondi au centième est $1,67$, c’est-à-dire la valeur par excès.

Division positive

Résoudre $3x-5\le 10$.

1. Ajouter $5$ : $3x\le 15$. Diviser par $3$ : $x\le 5$.
2. Toutes les valeurs inférieures ou égales à $5$ conviennent ; $5$ est inclus.

Division négative

Résoudre $-2x+7>1$.

1. Soustraire $7$ : $-2x>-6$.
2. Diviser par $-2$ en inversant le signe : $x<3$. La valeur $3$ n’est pas solution.

Un budget et un nombre entier

Un budget de $100$ DH doit payer $16$ DH de transport et des entrées à $12$ DH chacune.

1. Si $n$ est le nombre d’entrées, $12n+16\le 100$, donc $n\le 7$.
2. Comme $n$ est un entier positif ou nul, on peut acheter au maximum $7$ entrées.