Prisme droit, pyramide et cône de révolution

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Aires et volume du prisme

Si $B$ est l’aire d’une base, $P$ son périmètre et $h$ la hauteur, alors l’aire latérale vaut $Ph$, l’aire totale vaut $Ph+2B$ et le volume vaut $Bh$.

Un prisme à base triangulaire

La base est un triangle rectangle de côtés perpendiculaires $3$ cm et $4$ cm, d’hypoténuse $5$ cm. La hauteur du prisme vaut $8$ cm.

1. $B=\frac{3\times 4}{2}=6$ cm² et $P=3+4+5=12$ cm.
2. Le volume vaut $6\times 8=48$ cm³ ; l’aire latérale $12\times 8=96$ cm² ; l’aire totale $96+2\times 6=108$ cm².

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Volume et surface de la pyramide

Le volume d’une pyramide est $V=\frac{Bh}{3}$. L’aire latérale est la somme des aires de ses triangles latéraux. L’aire totale est l’aire latérale augmentée de l’aire de la base.

Une base carrée

Une pyramide a une base carrée de côté $6$ cm et une hauteur de $8$ cm.

1. L’aire de la base vaut $6^2=36$ cm².
2. Son volume est $\frac{36\times 8}{3}=96$ cm³. La hauteur $8$ cm n’est pas automatiquement la hauteur d’un triangle latéral.

Méthode

Les règles de la perspective cavalière

1. La face avant est dessinée en vraie grandeur : ses longueurs et ses angles sont conservés.
2. Les arêtes perpendiculaires à la face avant, appelées fuyantes, sont tracées en oblique, souvent à $45^{\circ }$, avec une longueur réduite, souvent de moitié.
3. Des arêtes parallèles dans l’espace restent parallèles sur le dessin.
4. Les arêtes visibles sont en traits pleins ; les arêtes cachées sont en pointillés, sans être effacées.

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Formules du cône

L’aire de la base vaut $\pi r^2$. L’aire latérale vaut $\pi rg$ et l’aire totale $\pi rg+\pi r^2$. Le volume vaut $V=\frac{\pi r^{2}h}{3}$. La hauteur et la génératrice ne sont pas interchangeables.

Un cône de dimensions connues

Un cône a pour rayon $3$ cm, hauteur $4$ cm et génératrice $5$ cm.

1. Le volume est $\frac{\pi \times 3^2\times 4}{3}=12\pi$ cm³, soit environ $37,70$ cm³.
2. L’aire latérale est $\pi \times 3\times 5=15\pi$ cm² ; l’aire totale est $24\pi$ cm².

Méthode

Construire le patron d’une pyramide régulière à base carrée

1. Tracer le carré de base, par exemple de côté $4$ cm.
2. Sur chaque côté du carré, construire au compas un triangle isocèle dont les deux autres côtés mesurent la longueur des arêtes latérales, par exemple $5$ cm.
3. Vérifier que deux bords qui se rejoignent au pliage ont la même longueur.
4. Ajouter des languettes de collage pour fabriquer la maquette, puis la plier le long des côtés du carré.

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Patron du cône

Le patron du cône comprend un disque de rayon $r$ et un secteur circulaire de rayon $g$. La longueur de l’arc du secteur vaut le périmètre du disque de base, soit $2\pi r$. Si l’angle du secteur est $\theta$, alors $\frac{\theta }{360}=\frac{r}{g}$.

Angle du secteur

Pour un cône de rayon $3$ cm et de génératrice $5$ cm, calculer l’angle du secteur du patron.

1. La relation de proportionnalité donne $\theta =\frac{360\times 3}{5}$.
2. L’angle vaut $216^{\circ }$. Le rayon du secteur est $5$ cm, tandis que celui du disque est $3$ cm.

Quatre triangles identiques

Une pyramide régulière a une base carrée de côté $10$ cm. La hauteur de chaque face latérale vaut $13$ cm.

1. Une face a pour aire $\frac{10\times 13}{2}=65$ cm² ; les quatre faces ont une aire totale de $260$ cm².
2. Avec la base de $100$ cm², l’aire totale vaut $360$ cm².

La section qui contient l’axe du cône

On coupe un cône de rayon $5$ cm et de génératrice $13$ cm par un plan passant par son sommet et par le centre de sa base.

1. La section est un triangle isocèle : ses deux côtés égaux sont des génératrices de $13$ cm et sa base est un diamètre de $10$ cm.
2. La hauteur du cône partage ce triangle en deux triangles rectangles. C’est dans l’un d’eux que Pythagore donne $h^2=13^2-5^2=144$, donc $h=12$ cm.

Méthode

Résoudre un problème de solide

1. Nommer le solide et identifier la base.
2. Convertir toutes les longueurs dans la même unité.
3. Calculer l’aire de la base, puis utiliser la hauteur appropriée.
4. Appliquer la formule de volume ou d’aire selon la question.
5. Garder $\pi$ dans une valeur exacte si nécessaire et arrondir à la fin.