Calcul littéral

Remplacer une lettre négative

Calculer $A=2x^2-3x+1$ pour $x=-2$.

1. $A=2\times (-2{)}^2-3\times (-2)+1$.
2. $(-2{)}^2=4$, donc $A=8+6+1=15$.

Le périmètre d’un rectangle

La largeur d’un rectangle mesure $x$ cm et sa longueur dépasse de $3$ cm le double de la largeur. Exprimer son périmètre $P$ en fonction de $x$, puis le calculer pour $x=4$.

1. La longueur s’écrit $2x+3$, donc $P=2\times x+2\times (2x+3)$.
2. En développant puis en réduisant : $P=2x+4x+6=6x+6$. Pour $x=4$, $P=6\times 4+6=30$ cm.

Un tarif écrit avec une lettre

Dans cet exemple, une course de taxi coûte $7,5$ DH de prise en charge, puis $3$ DH par kilomètre. Écrire le prix $T$ d’une course de $d$ km.

1. Les kilomètres coûtent $3\times d=3d$ ; on ajoute la prise en charge.
2. $T=3d+7,5$. Pour $d=12$ km, $T=36+7,5=43,5$ DH. La même formule sert pour toutes les distances.

Propriété

Termes de même nature

On additionne les coefficients des termes portant la même partie littérale : $5x+2x=7x$ et $4x^2-x^2=3x^2$. On ne réduit pas $x^2+x$ en un seul terme.

Regrouper en gardant les signes

Réduire $B=6x-4+2x+9$.

1. Les termes en $x$ donnent $6x+2x=8x$.
2. Les constantes donnent $-4+9=5$, donc $B=8x+5$.

Méthode

Enlever un groupe précédé de moins

1. Recopier les termes avant les parenthèses.
2. Remplacer chaque terme du groupe par son opposé.
3. Regrouper les termes de même nature seulement après ce changement.

Le moins concerne tout le groupe

$C=7x-(2x-5)+3$.

1. $C=7x-2x+5+3$.
2. Ainsi $C=5x+8$. Le terme $-5$ devient $+5$.

Simple distributivité

Développer $-3(2x-5)$.

1. $(-3)\times 2x=-6x$ et $(-3)\times (-5)=15$.
2. Le développement est $-6x+15$.

Propriété

Double distributivité

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$. On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde, puis on réduit.

Quatre produits à organiser

Développer $(x+4)(2x-3)$.

1. Les quatre produits sont $2x^2$, $-3x$, $8x$ et $-12$.
2. Le résultat réduit est $2x^2+5x-12$.

Repérer les deux expressions

Développer $(2x-3{)}^2$.

1. Choisir $a=2x$ et $b=3$ : $a^2=4x^2$, $2ab=12x$ et $b^2=9$.
2. Donc $(2x-3{)}^2=4x^2-12x+9$.

Extraire le facteur commun

Factoriser $6x^2+9x$.

1. Les deux termes contiennent le facteur $3x$.
2. $6x^2+9x=3x(2x+3)$. En développant, on retrouve les deux termes.

Une parenthèse en facteur commun

Factoriser $E=(2x+3)(x-7)-(2x+3)(x+2)$.

1. Le groupe $(2x+3)$ figure dans les deux produits : $E=(2x+3)[(x-7)-(x+2)]$.
2. Le moins s’applique à tout le second groupe : $(x-7)-(x+2)=x-7-x-2=-9$. Donc $E=-9(2x+3)$.

Un carré qui contient le facteur

Factoriser $F=(2x+3{)}^2-7(2x+3)$.

1. Comme $(2x+3{)}^2=(2x+3)(2x+3)$, le groupe $(2x+3)$ est commun : $F=(2x+3)[(2x+3)-7]$.
2. $F=(2x+3)(2x-4)$. On peut encore extraire le facteur $2$ : $F=2(2x+3)(x-2)$.

Reconnaître une différence de carrés

Factoriser $25x^2-16$.

1. On reconnaît $(5x{)}^2-4^2$.
2. Donc $25x^2-16=(5x-4)(5x+4)$.

Un calcul mental expliqué

Calculer $49^2$ à partir de $50-1$.

1. $49^2=(50-1{)}^2=50^2-2\times 50\times 1+1$.
2. $49^2=2500-100+1=2401$.

Une différence de carrés pour calculer vite

Calculer $102\times 98$ sans calculatrice.

1. $102\times 98=(100+2)(100-2)=100^2-2^2$.
2. $102\times 98=10000-4=9996$.

Choisir la forme la plus rapide

Calculer $A=x^2-6x+9$ pour $x=103$.

1. On reconnaît le carré d’une différence : $A=(x-3{)}^2$.
2. Pour $x=103$, $A=100^2=10000$, un calcul bien plus court que $103^2-618+9$.

Démontrer une propriété pour tous les entiers

Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$.

1. Si le premier entier est $n$, la somme vaut $n+(n+1)+(n+2)=3n+3$.
2. En factorisant, $3n+3=3(n+1)$ : c’est un multiple de $3$ pour tout entier $n$. Tester trois exemples ne l’aurait pas démontré.