Addition et soustraction des nombres relatifs
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs distances à zéro et on garde le signe commun. S’ils ont des signes contraires, on soustrait les distances et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro. Soustraire un nombre revient toujours à ajouter son opposé.
À la fin de ce chapitre, vous saurez
- Interpréter une addition sur une droite
- Additionner des relatifs de même signe ou de signes contraires
- Transformer une soustraction en addition
- Calculer une somme algébrique
- Résoudre un problème de variation
PrérequisSigne et distance à zéro · Opposé d’un nombre · Addition et soustraction des décimaux
Comprendre l’addition avec un déplacement
À −2 °C, une hausse de 5 °C fait passer la température à +3 °C. On peut suivre cette hausse sur une droite graduée : depuis −2, on avance de cinq unités vers la droite. Le zéro n’arrête pas le déplacement ; il sert seulement de repère.
Propriété
Le sens du déplacement
Ajouter un nombre positif fait avancer vers la droite. Ajouter un nombre négatif fait avancer vers la gauche. Ajouter zéro ne change pas la position.
Deux déplacements différents
Calculer puis .
- Depuis −1, quatre unités vers la droite conduisent à 3.
- Depuis −1, quatre unités vers la gauche conduisent à −5.
Additionner deux nombres de même signe
Méthode
Conserver le signe commun
- Additionne les distances à zéro.
- Place devant le résultat le signe commun des deux nombres.
Deux baisses successives
Calculer .
- Les deux nombres sont négatifs. Les distances s’ajoutent : .
- Donc .
Cette règle garde le sens de la situation : deux pertes s’ajoutent pour donner une perte plus importante. Deux déplacements vers la droite s’ajoutent pour donner un déplacement positif plus long.
Additionner deux nombres de signes contraires
Méthode
Comparer les distances
- Repère la plus grande distance à zéro.
- Soustrais la petite distance de la grande.
- Garde le signe du nombre ayant la plus grande distance.
Un gain et une perte
Calculer .
- 14 est plus grand que 9 ; la distance restante est .
- Le nombre −14 impose son signe : le résultat est −5.
Propriété
La somme de deux opposés
La somme de deux nombres opposés est nulle : . Par exemple, .
Attention
La règle « moins par moins donne plus » appartient à la multiplication. Elle ne permet pas d’additionner deux négatifs : , et non +7.
Comment soustraire un nombre relatif ?
Propriété
Ajouter l’opposé
Pour tous nombres relatifs et , . On conserve le premier nombre et on ajoute l’opposé du second.
Soustraire un négatif
Calculer puis .
- .
- . Le premier nombre ne change pas de signe.
| Écriture | Addition équivalente | Résultat |
|---|---|---|
| 5 | ||
| 9 | ||
| −9 | ||
| −5 |
Simplifier une écriture et calculer une somme algébrique
Définition
Somme algébrique : Une somme algébrique est une expression composée d’additions et de soustractions de nombres relatifs. L’écriture peut se lire comme la somme de +8, −3, +2 et −6.
Méthode
Regrouper sans perdre les signes
- Transforme les soustractions de nombres relatifs en additions.
- Associe chaque terme à son signe.
- Regroupe les positifs, les négatifs ou les opposés.
- Effectue l’addition finale.
Choisir un regroupement utile
Calculer .
- Les termes −7 et +7 sont opposés : leur somme vaut 0.
- Il reste .
Attention
On peut changer l’ordre des termes d’une addition en gardant leur signe. On ne peut pas inverser les termes d’une soustraction : , mais .
Calculer avec des parenthèses
La règle des priorités reste valable : on calcule d’abord l’intérieur des parenthèses. Cette habitude évite de modifier trop de signes à la fois. Écris une étape par ligne et conserve tout le reste de l’expression.
Un calcul complet
Calculer .
- Dans la parenthèse, .
- .
Résoudre une variation et vérifier le signe
Un changement de température
La température passe de −6 °C à +2 °C. Quelle est la variation ?
- La variation est la valeur finale moins la valeur initiale : .
- La température a augmenté de 8 °C. On vérifie : .
Pour un problème, choisis d’abord ce que représentent les signes : gain ou perte, hausse ou baisse, déplacement à droite ou à gauche. N’utilise pas automatiquement le signe du premier nombre. Le résultat doit raconter la même histoire que l’énoncé.
Questions fréquentes
Comment additionner deux relatifs de signes contraires ?
Pourquoi soustraire un négatif revient-il à ajouter ?
Comment calculer une somme algébrique ?
Quelle erreur éviter avec la règle des signes ?
Quiz : 12 questions sur ce chapitre
12 questions tirées au hasard parmi les 12 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.
Q1(−4) + (−6) vaut…
Réponse incorrecte
Même signe : on additionne les distances et on garde le signe négatif.
Bonne réponse : −10
Même signe : on additionne les distances et on garde le signe négatif.
Q2(−8) + (+3) vaut…
Réponse incorrecte
8 − 3 = 5 ; le nombre −8 impose son signe.
Bonne réponse : −5
8 − 3 = 5 ; le nombre −8 impose son signe.
Q3(+8) + (−3) vaut…
Réponse incorrecte
La plus grande distance est 8, portée par un positif.
Bonne réponse : 5
La plus grande distance est 8, portée par un positif.
Q46 − (−2) est égal à…
Réponse incorrecte
Soustraire −2 revient à ajouter son opposé +2.
Bonne réponse : 6 + 2
Soustraire −2 revient à ajouter son opposé +2.
Q5−6 − (+2) vaut…
Réponse incorrecte
On écrit −6 + (−2), ce qui donne −8.
Bonne réponse : −8
On écrit −6 + (−2), ce qui donne −8.
Q6−5 + 5 vaut…
Réponse incorrecte
Deux nombres opposés ont une somme nulle.
Bonne réponse : 0
Deux nombres opposés ont une somme nulle.
Q7−2 − (−7) vaut…
Réponse incorrecte
L’expression devient −2 + 7, donc 5.
Bonne réponse : 5
L’expression devient −2 + 7, donc 5.
Q810 − 4 + 2 vaut…
Réponse incorrecte
On calcule de gauche à droite : 10 − 4 = 6, puis 6 + 2 = 8.
Bonne réponse : 8
On calcule de gauche à droite : 10 − 4 = 6, puis 6 + 2 = 8.
Q9Ajouter −3 déplace sur la droite…
Réponse incorrecte
Ajouter un négatif revient à se déplacer vers la gauche.
Bonne réponse : vers la gauche
Ajouter un négatif revient à se déplacer vers la gauche.
Q10Passer de −4 à +1 correspond à…
Réponse incorrecte
La variation vaut 1 − (−4) = 5, elle est positive.
Bonne réponse : une hausse de 5
La variation vaut 1 − (−4) = 5, elle est positive.
Q11−1,5 + 0,5 vaut…
Réponse incorrecte
Les signes sont contraires : 1,5 − 0,5 = 1, avec le signe négatif.
Bonne réponse : −1
Les signes sont contraires : 1,5 − 0,5 = 1, avec le signe négatif.
Q12Quel regroupement conserve 6 − 8 + 4 ?
Réponse incorrecte
Chaque terme conserve son signe : +6, −8 et +4.
Bonne réponse : 6 + 4 − 8
Chaque terme conserve son signe : +6, −8 et +4.
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Le chapitre est à revoir en entier
Ne recommencez pas le quiz tout de suite : relisez d'abord tout le cours, en refaisant sur votre cahier chaque exemple guidé au lieu de le lire. Enchaînez avec les exercices « facile », correction masquée, puis revenez ici. C'est en une seule séance de travail que la note change.
À revoir : 12 questions manquées
(−4) + (−6) vaut…
Bonne réponse−10
Même signe : on additionne les distances et on garde le signe négatif.
(−8) + (+3) vaut…
Bonne réponse−5
8 − 3 = 5 ; le nombre −8 impose son signe.
(+8) + (−3) vaut…
Bonne réponse5
La plus grande distance est 8, portée par un positif.
6 − (−2) est égal à…
Bonne réponse6 + 2
Soustraire −2 revient à ajouter son opposé +2.
−6 − (+2) vaut…
Bonne réponse−8
On écrit −6 + (−2), ce qui donne −8.
−5 + 5 vaut…
Bonne réponse0
Deux nombres opposés ont une somme nulle.
−2 − (−7) vaut…
Bonne réponse5
L’expression devient −2 + 7, donc 5.
10 − 4 + 2 vaut…
Bonne réponse8
On calcule de gauche à droite : 10 − 4 = 6, puis 6 + 2 = 8.
Ajouter −3 déplace sur la droite…
Bonne réponsevers la gauche
Ajouter un négatif revient à se déplacer vers la gauche.
Passer de −4 à +1 correspond à…
Bonne réponseune hausse de 5
La variation vaut 1 − (−4) = 5, elle est positive.
−1,5 + 0,5 vaut…
Bonne réponse−1
Les signes sont contraires : 1,5 − 0,5 = 1, avec le signe négatif.
Quel regroupement conserve 6 − 8 + 4 ?
Bonne réponse6 + 4 − 8
Chaque terme conserve son signe : +6, −8 et +4.
Exercices corrigés
10 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.
Exercice 1
FacileCalcule (−6) + (−8) et (+3,2) + (+1,5).
Correction
Les distances 6 et 8 s’ajoutent ; le signe est négatif : −14.
Les deux positifs donnent 3,2 + 1,5 = 4,7.
Exercice 2
FacileCalcule (+12) + (−5) et (−9) + (+4).
Correction
12 − 5 = 7, avec le signe du nombre +12 : +7.
9 − 4 = 5, avec le signe du nombre −9 : −5.
Exercice 3
FacileCalcule −3,7 + 3,7 puis 0 + (−8).
Correction
Deux opposés ont une somme nulle : −3,7 + 3,7 = 0.
Ajouter zéro ne change pas le nombre : 0 + (−8) = −8.
Exercice 4
FacileTransforme 4 − (−7) et −4 − (+7), puis calcule.
Correction
.
.
Exercice 5
MoyenCalcule −8 − (−3) et −3 − (−8).
Correction
.
. Inverser les termes change le résultat.
Exercice 6
MoyenCalcule 17 − 8 − 17 + 3.
Correction
Les termes +17 et −17 s’annulent.
Il reste −8 + 3 = −5.
Exercice 7
MoyenCalcule −2 − (5 − 9) + (−6).
Correction
La parenthèse vaut 5 − 9 = −4.
.
Exercice 8
MoyenCalcule −4,6 + 7,2 − 3,8.
Correction
Les deux premiers termes donnent 2,6.
Puis 2,6 − 3,8 = −1,2.
Exercice 9
DifficileUn joueur part de 0, perd 12 points, gagne 7 points puis perd 4 points. Quel est son score ? Combien faut-il gagner pour revenir à 0 ?
Correction
Le score est .
Il doit gagner 9 points car −9 + 9 = 0.
Exercice 10
DifficileLa température passe de −2,5 °C à −7 °C. Calcule la variation et interprète.
Correction
Variation : .
Le signe négatif indique une baisse de 4,5 °C.