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Angles formés par deux droites parallèles et une sécante

Quand deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes ont la même mesure, tout comme les angles correspondants. Ces relations permettent de calculer un angle sans rapporteur et de prouver un parallélisme. En maths 1AC, il faut d’abord repérer la position des angles, puis vérifier les conditions de la propriété utilisée.

Conforme au programme officiel du Ministère de l'Éducation Nationale (2025-2026) · Mis à jour le

À la fin de ce chapitre, vous saurez

  • Repérer des angles alternes-internes et correspondants
  • Distinguer les relations qui demandent le parallélisme
  • Calculer des angles avec égalité ou supplémentarité
  • Utiliser une réciproque pour prouver que deux droites sont parallèles

PrérequisIdentifier le sommet et les côtés d’un angle · Reconnaître des droites parallèles · Savoir qu’un angle plat mesure 180°

Un bon cours, ça se partage.

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Deux droites parallèles et une sécante montrent deux angles alternes-internes de 60° et un angle adjacent supplémentaire de 120°.
Avec deux parallèles, les alternes-internes sont égaux ; un angle adjacent supplémentaire vaut 180° moins l’angle connu.
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Sécante et zone intérieure : lire la figure

Définition

Sécante : Une droite sécante à deux droites les rencontre en deux points distincts. À chaque intersection apparaissent quatre angles. La zone située entre les deux droites permet de distinguer les angles intérieurs et extérieurs.

Avant d’utiliser une propriété, repère les deux points d’intersection et suis la sécante avec le doigt. La position relative des angles est ce qui compte. Les dessins peuvent être inclinés ou tournés sans que les noms des relations changent.

Angles opposés par le sommet et angles adjacents

Propriété

Au même point d’intersection

Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure. Deux angles adjacents dont les côtés extérieurs forment une droite sont supplémentaires : leur somme vaut . Ces deux faits ne demandent pas que les deux autres droites soient parallèles.

Autour d’une intersection

Un angle mesure .

  1. Son angle opposé par le sommet mesure aussi .
  2. Chacun des deux angles adjacents vaut .

Comment reconnaître les angles alternes-internes ?

Définition

Angles alternes-internes : Deux angles sont alternes-internes lorsqu’ils sont situés entre les deux droites, à des intersections différentes et de part et d’autre de la sécante.

Propriété

Si les droites sont parallèles

Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure.

Deux droites parallèles coupées par une sécante ; les deux angles de 63° sont intérieurs et de côtés opposés de la sécante.
Des angles alternes-internes sont égaux lorsque les deux droites sont parallèles.
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La forme en Z peut aider à repérer une paire, mais la définition est plus fiable. Un dessin approximatif peut sembler donner deux angles égaux alors que le parallélisme n’est ni donné ni démontré. On annonce donc toujours cette hypothèse avant de conclure à l’égalité.

Comment reconnaître les angles correspondants ?

Définition

Angles correspondants : Deux angles correspondants occupent la même position aux deux intersections avec la sécante. Ils sont du même côté de la sécante ; l’un est intérieur et l’autre extérieur aux deux droites.

Propriété

Même position, même mesure

Si les deux droites sont parallèles, deux angles correspondants ont la même mesure.

Reporter une mesure

Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle et son correspondant ont pour mesures et .

  1. Le parallélisme permet d’utiliser l’égalité des angles correspondants.
  2. On conclut sans mesurer le dessin.
Deux angles de 71° occupent la même position aux deux intersections d’une sécante avec deux droites parallèles.
Des angles correspondants sont égaux lorsque les deux droites sont parallèles.
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Angles intérieurs du même côté de la sécante

Propriété

Somme de 180°

Avec deux droites parallèles, deux angles intérieurs du même côté de la sécante sont supplémentaires. Si l’un mesure , l’autre mesure .

Ces angles ne sont pas alternes-internes : ils sont du même côté de la sécante. C’est une confusion fréquente qui transforme une soustraction en fausse égalité. Pour choisir, vérifie successivement : intérieur ou extérieur, même côté ou côtés opposés, même sommet ou sommets différents.

Comment prouver que deux droites sont parallèles ?

Propriété

Réciproques

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes égaux, alors elles sont parallèles. La même conclusion est possible avec deux angles correspondants égaux.

Une preuve par les angles

Deux angles alternes-internes sont donnés égaux à .

  1. On identifie la sécante et les deux droites concernées.
  2. L’égalité d’une paire d’angles alternes-internes permet de conclure que ces deux droites sont parallèles.

Le sens du raisonnement change : pour calculer, on part du parallélisme et on obtient une égalité d’angles. Pour démontrer un parallélisme, on part de l’égalité d’une paire bien identifiée et on utilise la réciproque. Écrire ce qui est connu avant la propriété évite de raisonner en cercle.

Méthode pour un exercice à plusieurs angles

Méthode

Avancer une relation à la fois

  1. Inscrire les mesures données et les codages de parallélisme sur la figure.
  2. Chercher d’abord un angle au même sommet : opposé par le sommet ou supplémentaire.
  3. Passer à l’autre intersection grâce aux alternes-internes ou aux correspondants si les droites sont parallèles.
  4. Écrire la relation, le calcul éventuel et la mesure avec le symbole degré.

Attention

Le parallélisme n’est pas nécessaire pour les angles opposés par le sommet, mais il est indispensable pour déduire l’égalité d’angles alternes-internes ou correspondants à partir de leur seule position. Une paire peut porter ce nom sans être égale.

Questions fréquentes

Comment reconnaître des angles alternes-internes ?

Ils sont entre les deux droites, à deux intersections différentes et de part et d’autre de la sécante. Avec des parallèles, leurs mesures sont égales.

Quelle différence entre correspondants et alternes-internes ?

Les correspondants occupent la même position aux deux intersections, avec un angle intérieur et un extérieur. Les alternes-internes sont tous les deux intérieurs et de côtés opposés de la sécante.

Comment calculer un angle avec des droites parallèles ?

Repère d’abord une relation : alternes-internes ou correspondants pour une égalité, angles supplémentaires pour une somme de 180°. Écris ensuite la propriété et le calcul.

Comment démontrer que deux droites sont parallèles avec les angles ?

Si une sécante forme avec les droites une paire d’alternes-internes égaux ou une paire de correspondants égaux, la réciproque permet de conclure au parallélisme.

Quiz : 12 questions sur ce chapitre

12 questions tirées au hasard parmi les 12 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.

Q1Les angles alternes-internes sont :

Bonne réponse : Intérieurs et de part et d’autre de la sécante

Ils occupent deux intersections différentes, entre les droites et de côtés opposés de la sécante.

Q2Sur deux parallèles, des angles correspondants sont :

Bonne réponse : Égaux

Le parallélisme entraîne l’égalité des angles occupant la même position aux deux intersections.

Q3Deux angles opposés par le sommet ont :

Bonne réponse : La même mesure

Cette égalité est vraie à toute intersection de deux droites, sans autre hypothèse de parallélisme.

Q4Le supplément de 38° est :

Bonne réponse : 142°

Deux angles supplémentaires totalisent , donc .

Q5Des alternes-internes égaux permettent de prouver :

Bonne réponse : Le parallélisme des deux droites

La réciproque de la propriété des alternes-internes donne le parallélisme.

Q6Une sécante aux deux droites les rencontre :

Bonne réponse : En deux points distincts

Dans cette configuration, la sécante coupe chacune des deux droites à une intersection distincte.

Q7Avec des parallèles, les intérieurs du même côté totalisent :

Bonne réponse : 180°

Ces angles sont supplémentaires : leur somme vaut .

Q8Une paire d’angles correspondants comprend :

Bonne réponse : Un intérieur et un extérieur

Ils sont aux deux intersections, du même côté de la sécante et dans la même position relative.

Q9Une paire d’alternes-internes est-elle toujours égale ?

Bonne réponse : Non, une hypothèse est nécessaire

Leur nom décrit leur position ; le parallélisme permet ensuite de déduire leur égalité.

Q10L’opposé par le sommet d’un angle de 122° vaut :

Bonne réponse : 122°

Les angles opposés par le sommet ont la même mesure, ici 122°.

Q11Le correspondant d’un angle de 49° sur deux parallèles vaut :

Bonne réponse : 49°

Les deux droites étant parallèles, les angles correspondants sont égaux.

Q12Dans une preuve, la réciproque sert ici à :

Bonne réponse : Déduire le parallélisme d’une égalité d’angles

On part d’une paire égale correctement identifiée pour conclure que les droites sont parallèles.

Exercices corrigés

10 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.

Exercice 1

Facile

Deux droites se coupent. Un angle vaut . Quelle est la mesure de son opposé par le sommet ?

Correction

Les angles opposés par le sommet ont toujours la même mesure.

L’angle demandé mesure donc .

Exercice 2

Facile

Un angle de et un angle sont adjacents et forment un angle plat. Calculer .

Correction

Leur somme est .

.

Exercice 3

Facile

Deux parallèles et une sécante forment deux angles alternes-internes. L’un vaut . Trouver l’autre.

Correction

Avec deux droites parallèles, les alternes-internes sont égaux.

Le second angle mesure .

Exercice 4

Moyen

Deux angles correspondants sont formés par une sécante et deux droites parallèles. L’un mesure . Donner l’autre et son adjacent supplémentaire.

Correction

L’angle correspondant mesure par égalité.

Son adjacent supplémentaire mesure .

Exercice 5

Moyen

Avec deux parallèles, deux angles intérieurs du même côté de la sécante sont donnés, dont un de . Calculer l’autre.

Correction

Ces angles sont supplémentaires, car ils sont intérieurs du même côté de la sécante.

L’autre mesure .

Exercice 6

Moyen

Deux droites coupées par une sécante forment des alternes-internes de chacun. Que peut-on conclure ?

Correction

Les deux angles sont bien alternes-internes et de même mesure.

Par la réciproque, les deux droites sont parallèles.

Exercice 7

Moyen

Deux angles correspondants sont repérés ; le parallélisme n’est pas donné. Peut-on annoncer qu’ils sont égaux ?

Correction

La position correspondante ne suffit pas à obtenir une égalité.

Il faut le parallélisme, ou une donnée établissant directement l’égalité des deux mesures.

Exercice 8

Moyen

Deux angles alternes-internes de droites parallèles mesurent degrés et . Calculer .

Correction

Ils sont égaux : .

On divise par  : . La mesure de chaque angle est bien .

Exercice 9

Difficile

Un angle mesure . Son adjacent supplémentaire est . Un angle est correspondant à sur deux parallèles. Calculer et .

Correction

Les angles et totalisent , donc .

Les angles correspondants et sont égaux, donc .

Exercice 10

Difficile

Deux angles correspondants mesurent et . Pour quelle valeur de leur égalité prouve-t-elle que les deux droites sont parallèles ?

Correction

Il faut , donc et .

Pour cette valeur, les deux angles valent . La réciproque des angles correspondants établit le parallélisme.

Mathématiques 1AC · S2

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