Cercle
Un cercle de centre et de rayon est l’ensemble des points situés exactement à la distance de . Son diamètre mesure deux fois le rayon. En maths 1AC, on utilise cette définition pour construire des cercles, reconnaître des cordes et tracer une tangente ; on distingue aussi la longueur du cercle de l’aire du disque qu’il délimite.
À la fin de ce chapitre, vous saurez
- Utiliser les mots centre, rayon, diamètre, corde et disque
- Vérifier l’appartenance d’un point à un cercle
- Construire une tangente en un point du cercle
- Calculer une longueur de cercle et une aire de disque
- Justifier des constructions simples
PrérequisReporter une longueur au compas · Construire une perpendiculaire · Calculer avec π et convertir des unités
Un bon cours, ça se partage.
Rayon, diamètre et corde : le vocabulaire du cercle
Définition
Cercle et rayon : Si appartient au cercle de centre et de rayon , alors . Le mot rayon désigne aussi le segment . Tous les rayons d’un même cercle ont la même longueur.
Définition
Corde et diamètre : Une corde relie deux points d’un cercle. Un diamètre est une corde qui passe par le centre ; sa longueur est . Tous les diamètres d’un cercle ont la même longueur.
Chaque diamètre est une corde, mais une corde ne passe pas forcément par le centre. Sur une figure, le centre peut être placé n’importe où sur la feuille ; ce sont les distances qui définissent le cercle, pas l’orientation du dessin.
Cercle ou disque : quelle différence ?
Définition
Disque : Le disque est la région formée par le cercle et son intérieur. Pour un cercle de rayon , un point est dans le disque si , et il est sur le cercle si .
| Distance au centre | Position du point |
|---|---|
| OM < r | Strictement à l’intérieur |
| OM = r | Sur le cercle |
| OM > r | À l’extérieur du disque |
Tester trois points
Un cercle a pour rayon cm. Les distances , et valent cm, cm et cm.
- est à l’intérieur du disque, est sur le cercle et est à l’extérieur.
- Seul appartient au cercle ; et appartiennent au disque.
Tracer un cercle et contrôler une construction
Méthode
Un centre et une ouverture fixe
- Marquer le centre et mesurer le rayon demandé avec la règle.
- Régler l’ouverture du compas sur ce rayon.
- Placer la pointe en et faire tourner le compas sans changer l’ouverture.
- Pour placer un point du cercle, vérifier que sa distance à est égale au rayon.
Si l’on connaît un diamètre, il faut le diviser par deux pour régler le compas. Par exemple, pour un diamètre de cm, l’ouverture vaut cm. Garder cm produirait un cercle deux fois trop grand en diamètre.
Comment construire une tangente à un cercle ?
Définition
Tangente en A : La tangente à un cercle en un point est la droite qui touche le cercle en ce seul point. Elle est perpendiculaire au rayon au point .
Méthode
Tangente en un point donné du cercle
- Tracer la droite qui relie le centre au point de contact.
- Placer un côté de l’angle droit de l’équerre sur .
- Tracer par la perpendiculaire à .
- Coder l’angle droit en : la droite obtenue est la tangente cherchée.
Attention
La perpendiculaire doit passer par le point de contact , et non par le centre . Une droite passant par le centre coupe le cercle en deux points : elle ne peut pas être une tangente.
Centre et corde : retrouver le milieu
Propriété
Centre et milieu d’une corde
Une droite passant par le centre d’un cercle et perpendiculaire à une corde passe par le milieu de cette corde. Cette propriété permet de partager une corde sans la mesurer.
Justifier qu’un triangle inscrit est rectangle
Propriété
Triangle inscrit avec un diamètre
Si est un diamètre d’un cercle et si est un autre point du cercle, distinct de et de , alors le triangle est rectangle en . Le diamètre est le côté opposé à l’angle droit.
Ces propriétés s’utilisent avec des conditions précises. Pour obtenir un triangle rectangle, il ne suffit pas que les trois points soient sur un même cercle : l’un des côtés doit être un diamètre. Pour partager une corde, la droite doit à la fois passer par le centre et être perpendiculaire à la corde.
Longueur du cercle et aire du disque
Propriété
Deux formules distinctes
Pour un rayon et un diamètre , la longueur du cercle est . L’aire du disque est . La longueur s’exprime en unités simples, l’aire en unités carrées.
Rayon de 3 cm
Calculer la longueur du cercle et l’aire du disque de rayon cm.
- cm, soit environ cm.
- cm², soit environ cm².
Conserve la valeur exacte avec avant d’arrondir. Si l’énoncé demande d’utiliser , les approximations peuvent différer légèrement de celles de la calculatrice. Arrondis une seule fois, à la fin du calcul, avec la précision demandée.
Questions fréquentes
Quelle différence entre cercle et disque ?
Comment tracer une tangente en 1AC ?
Comment calculer le périmètre d’un cercle ?
Comment reconnaître un diamètre parmi les cordes ?
Quiz : 12 questions sur ce chapitre
12 questions tirées au hasard parmi les 12 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.
Q1Le diamètre d’un cercle vaut :
Réponse incorrecte
Un diamètre est formé de deux rayons alignés de part et d’autre du centre.
Bonne réponse : Deux fois le rayon
Un diamètre est formé de deux rayons alignés de part et d’autre du centre.
Q2Une corde est :
Réponse incorrecte
Les deux extrémités d’une corde appartiennent au cercle, sans obligation de passer par le centre.
Bonne réponse : Un segment reliant deux points du cercle
Les deux extrémités d’une corde appartiennent au cercle, sans obligation de passer par le centre.
Q3Un diamètre est-il une corde ?
Réponse incorrecte
C’est une corde particulière qui passe par le centre du cercle.
Bonne réponse : Oui
C’est une corde particulière qui passe par le centre du cercle.
Q4Un point sur le cercle de rayon r vérifie :
Réponse incorrecte
La définition du cercle impose une distance au centre exactement égale au rayon.
Bonne réponse :
La définition du cercle impose une distance au centre exactement égale au rayon.
Q5La tangente en A est perpendiculaire à :
Réponse incorrecte
La perpendicularité se fait avec le rayon du point de contact, au point A.
Bonne réponse : en A
La perpendicularité se fait avec le rayon du point de contact, au point A.
Q6La longueur du cercle est :
Réponse incorrecte
La formule du contour est , tandis que donne l’aire du disque.
Bonne réponse :
La formule du contour est , tandis que donne l’aire du disque.
Q7L’aire d’un disque de rayon 4 cm est :
Réponse incorrecte
On calcule et on utilise une unité carrée.
Bonne réponse : cm²
On calcule et on utilise une unité carrée.
Q8Le disque contient :
Réponse incorrecte
Le disque est toute la région délimitée par le cercle, bord compris.
Bonne réponse : Le contour et l’intérieur
Le disque est toute la région délimitée par le cercle, bord compris.
Q9Pour un diamètre de 9 cm, le rayon vaut :
Réponse incorrecte
Le rayon est la moitié du diamètre : cm.
Bonne réponse : 4,5 cm
Le rayon est la moitié du diamètre : cm.
Q10Une droite passant par le centre peut-elle être tangente ?
Réponse incorrecte
Elle rencontre le cercle en deux points opposés ; une tangente le rencontre en un seul point.
Bonne réponse : Non
Elle rencontre le cercle en deux points opposés ; une tangente le rencontre en un seul point.
Q11Un triangle inscrit ayant un diamètre pour côté est :
Réponse incorrecte
L’angle qui fait face au diamètre est droit lorsque le troisième sommet est sur le cercle.
Bonne réponse : Rectangle au sommet opposé
L’angle qui fait face au diamètre est droit lorsque le troisième sommet est sur le cercle.
Q12Si le rayon est doublé, l’aire est multipliée par :
Réponse incorrecte
Le rayon est mis au carré : , donc l’aire est quadruplée.
Bonne réponse : 4
Le rayon est mis au carré : , donc l’aire est quadruplée.
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Le chapitre est à revoir en entier
Ne recommencez pas le quiz tout de suite : relisez d'abord tout le cours, en refaisant sur votre cahier chaque exemple guidé au lieu de le lire. Enchaînez avec les exercices « facile », correction masquée, puis revenez ici. C'est en une seule séance de travail que la note change.
À revoir : 12 questions manquées
Le diamètre d’un cercle vaut :
Bonne réponseDeux fois le rayon
Un diamètre est formé de deux rayons alignés de part et d’autre du centre.
Une corde est :
Bonne réponseUn segment reliant deux points du cercle
Les deux extrémités d’une corde appartiennent au cercle, sans obligation de passer par le centre.
Un diamètre est-il une corde ?
Bonne réponseOui
C’est une corde particulière qui passe par le centre du cercle.
Un point sur le cercle de rayon r vérifie :
Bonne réponse
La définition du cercle impose une distance au centre exactement égale au rayon.
La tangente en A est perpendiculaire à :
Bonne réponse en A
La perpendicularité se fait avec le rayon du point de contact, au point A.
La longueur du cercle est :
Bonne réponse
La formule du contour est , tandis que donne l’aire du disque.
L’aire d’un disque de rayon 4 cm est :
Bonne réponse cm²
On calcule et on utilise une unité carrée.
Le disque contient :
Bonne réponseLe contour et l’intérieur
Le disque est toute la région délimitée par le cercle, bord compris.
Pour un diamètre de 9 cm, le rayon vaut :
Bonne réponse4,5 cm
Le rayon est la moitié du diamètre : cm.
Une droite passant par le centre peut-elle être tangente ?
Bonne réponseNon
Elle rencontre le cercle en deux points opposés ; une tangente le rencontre en un seul point.
Un triangle inscrit ayant un diamètre pour côté est :
Bonne réponseRectangle au sommet opposé
L’angle qui fait face au diamètre est droit lorsque le troisième sommet est sur le cercle.
Si le rayon est doublé, l’aire est multipliée par :
Bonne réponse4
Le rayon est mis au carré : , donc l’aire est quadruplée.
Exercices corrigés
10 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.
Exercice 1
FacileUn cercle a un rayon de cm. Calculer son diamètre.
Correction
Le diamètre mesure deux fois le rayon.
cm.
Exercice 2
FacileUn cercle doit avoir un diamètre de cm. Quelle ouverture choisir ?
Correction
L’ouverture correspond au rayon et non au diamètre.
cm.
Exercice 3
FacileUn cercle a pour centre et pour rayon cm. Si cm, où est ?
Correction
On compare au rayon : .
est strictement dans le disque, mais pas sur le cercle.
Exercice 4
Moyenappartient à un cercle de centre . Décrire la construction de la tangente en .
Correction
Tracer le rayon puis la perpendiculaire à passant par .
Cette droite est la tangente en ; coder l’angle droit au point .
Exercice 5
MoyenCalculer la longueur d’un cercle de diamètre cm, d’abord exacte puis avec .
Correction
cm.
Avec la valeur demandée, cm.
Exercice 6
MoyenCalculer l’aire d’un disque de rayon cm avec .
Correction
cm².
cm².
Exercice 7
MoyenLa droite passe par le centre et coupe la corde perpendiculairement en . Si cm, calculer .
Correction
La droite du centre perpendiculaire à la corde en coupe le milieu.
cm.
Exercice 8
Moyenest un diamètre et est un autre point du cercle. Quelle est la mesure de ?
Correction
Le triangle inscrit possède un diamètre comme côté.
Il est rectangle en : .
Exercice 9
DifficileOn double le rayon d’un cercle de à cm. Par combien sont multipliées sa longueur et l’aire de son disque ?
Correction
Les longueurs passent de à cm : elles sont multipliées par .
Les aires passent de à cm² : elles sont multipliées par , car le rayon est mis au carré.
Exercice 10
DifficileUn jardin circulaire de rayon m reçoit une clôture avec une ouverture de m. Calculer la longueur de clôture avec .
Correction
Le contour entier vaut m.
On retire l’ouverture : m de clôture. On utilise le périmètre, car on mesure une bordure.
Mathématiques 1AC · S2
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